福建省长泰一中高考数学一轮复习《球》学案 例 1. 如图，A、B、C 是半径为 1 的球面上的三点，B、C 两点间的球面距离为，点 A 与B、C 两点的球面距离都为，O 为球心，求：(1) 的大小； (2) 球心 O 到截面 ABC 的距离．典型例题基础过关解：设球心为 O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过 O 作 OD⊥BC 于 D，连AD，再过 O 作 OE⊥AD 于 E，则 OE⊥平面 ABC 于 E，∴OE＝. 在 Rt△AOD 中，由 AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V 球＝πR3＝π．例 2. 如图，四棱锥 A－BCDE 中，，且 AC⊥BC，AE⊥BE．(1) 求证：A、B、C、D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上；(2) 若求 B、D 两点间的球面距离．解：(1) 因为 AD⊥底面 BCDE，所以 AD⊥BC，AD⊥BE，又因为 AC⊥BC，AE⊥BE，所以 BC⊥CD，BE⊥ED．故 B、C、D、E 四点共圆，BD 为此圆的直径．取 BD 的中点 M，AB 的中点 N，连接 BD、AB 的中点 MN，则 MN∥AD，所以 MN⊥底面BCDE，即 N 的射影是圆的圆心 M，有 AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形 BCDE 是一个矩形，连接 DN，因为：所以 B、D 两点间的球面距离是.变式训练 2：过半径为 R 的球面上一点 M 作三条两两互相垂直的弦 MA、MB、MC．(1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；(2) 求△MAB，△MAC，△MBC 面积之和的最大值．解：(1) 易求得 MA2＋MB2＋MC2＝4R2！(2) S △MAB＋S△MAC＋S△MBC＝(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤(MA2＋MB2＋MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC 时取最大值).例 3.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）A．B．C．D．解：设正四面体为正四面体 ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为 CD，又过球心，设截面与棱 AB 交于 E 点，则 E 为 AB 的中点，易求得截面三角形的面积为，故选（C）．变式训练 3：已知三棱锥 P－ABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点，△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB.(1) 证明：PC⊥平面 PAB；(2) 求二面角 P－AB－C 的平面角的余弦值；(3) 若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的球面上，求△ABC的边长.解 (1) 连结 CF， PE＝EF＝BC＝AC ∴AP⊥PC CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面 PCF AC平面 PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平...
