高考数学 考点突破——推理与证明：数学归纳法学案-人教版高三全册数学学案

数学归纳法【考点梳理】1．数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n 0( n 0∈ N * ) 时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立.2．数学归纳法的框图表示【考点突破】考点一、用数学归纳法证明等式【例 1】设 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．[解析] (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当 n＝k＋1 时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立．由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【类题通法】1．明确“2 思路”(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0是多少．(2)由 n＝k 时等式成立，推出 n＝k＋1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．2．记牢“4 句话”两个步骤要做到，递推基础不可少；归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．【对点训练】用数学归纳法证明等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.那么，当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k·.∴n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知对任意 n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.考点二、用数学归纳法证明不等式【例 2】设实数 c>0，整数 p>1，n∈N*.证明：当 x>－1 且 x≠0 时，(1＋x)p>1＋px.[解析] ① 当 p＝2 时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．② 假设 p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx 成立．当 p＝k＋1 时，(1＋x)k＋1＝(1＋x...