重视和发掘习题的潜功能《乌鲁木齐市中学教学目标与检测》（数学（高二上册））达标训练二填空题第一题是这样的：已知 a,b,c 是△ABC 的三条边，比较大小（a＋b＋c）2 4（ab＋bc＋ca）。这道题的解答可以用特殊值法。取 a＝b＝c＝1，得（a＋b＋c）2＝9，4（ab＋bc＋ca）＝12，所以（a＋b＋c）2＜4（ab＋bc＋ca）。将这道题稍微变形，就是全日制普通高级中学教科书（实验修订本·必修）数学第二册（上）第 31 页 B 组题的第 6 题：设 a,b,c 为△ABC 的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）。这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征，依据不同的思维，不同的入口结合不等式证明的不同方法，，可以得到不同的证法。并且依据已经证明的结论，还可以进行引申。1、常规思维法 不等式的证明最基本的方法就是求差比较法，基于此，有如下的解法：证法一 a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）＝a2 －2ab＋b2＋c2－2ac＋a2＋c2－2bc＋b2－a2－b2－c2＝（a－b）2＋（c－a）2＋（c－b）2－a2－b2－c2＝（a－b）2－c2＋（c－a）2－b2＋（c－b）2－a2＝（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）又 a,b,c 为△ABC 的三边∴a－b＋c＞0 a－b－c＜0 c－a＋b＞0 c－a－b＜0 c－b＋a＞0 c－b－a＜0∴（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）＜0∴ a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）利用不同的组合，然旧利用求差比较法可以得到证法二 a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca） ＝（a2－ab－ca）＋（b2－ab－bc）＋（c2－bc－ac） ＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a） ＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕又 a,b,c 为△ABC 的三边∴a＞0，b＞0，c＞0 且 a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a利用同向正则不等式可以相乘，得到∴a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）＞0∴ －〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0∴a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）2、利用分析法，结合三角形的边角关系和同向正则不等式可以相乘的性质可以得到证法三： a,b,c 为△ABC 的三边∴a＞0，b＞0，c＞0 且 a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a利用同向正则不等式可以相乘，得到a(b＋c)＞a2 b(a＋c)＞b2 c(a＋b)＞c2又 2（ab＋bc＋ca） ＝ab＋ac＋bc＋ba＋bc＋ac ＝a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)＞a2＋b2＋c2∴ a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）在讨论题目的证明过程中，有的同学想到了这样...
