第 14 讲 导数的综合应用高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型 1：“辅助函数法”证明不等式(构造法)2018 全国卷Ⅰ T21；2018 全国卷Ⅲ T212017 全国卷Ⅲ T21；2016 全国卷Ⅲ T211.每年必考内容，出现在压轴题的位置，难度很大.2.利用导数研究函数的零点问题是近几年高考的一个亮点，热点内容，应引起高度重视.题型 2：“转化法”解决不等式恒成立中的参数问题2017 全国卷Ⅰ T21；2017 全国卷Ⅱ T212016 全国卷Ⅱ T20；2014 全国卷Ⅰ T21题型 3：“图象辅助法”解决函数零点或方程根的问题2018 全国卷Ⅱ T21；2016 全国卷Ⅰ T212015 全国卷Ⅰ T21；2014 全国卷Ⅱ T21题型 1 “辅助函数法”证明不等式(构造法)利用导数证明不等式是近几年高考考查的热点，重点考查利用导数研究函数的单调性，求极值、最值的方法以及转化与化归、函数与方程、分类讨论的思想．■高考考法示例·【例 1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.(1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0.[思路点拨] (1)―――――→―→(2)→→[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝.从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.当 02 时，f′(x)>0.所以 f(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．(2)证明：当 a≥时，f(x)≥－ln x－1.设 g(x)＝－ln x－1，则 g′(x)＝－.当 01 时，g′(x)>0.所以 x＝1 是 g(x)的最小值点．故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当 a≥时，f(x)≥0.[方法归纳] 构造辅助函数的 4 种方法【教师备选】(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－－2.[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若 a<0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故 f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－处取得最大值，最大值为 f＝ln－1－.所以 f(x)≤－－2 等价于 ln－1－≤－－2，即 ln＋＋1≤0.设 g(x)＝ln x－x＋1，则 g′(x)＝－1.当 x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以 g(x)在(0,1)上单调递...
