第 3 讲 圆锥曲线的综合问题1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例 1 (2017 届日照模拟)已知椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B.以 F1F2 为直径的圆 O 过椭圆 E 的上顶点 D，直线 DB 与圆 O 相交得到的弦长为.设点 P，连接 PA 交椭圆于点 C，坐标原点为 O.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若△ABC 的面积不大于四边形 OBPC 的面积，求的最小值．解 (1)因为以 F1F2为直径的圆 O 过点 D，所以 b＝c，则圆 O 的方程为 x2＋y2＝b2，又 a2＝b2＋c2，所以 a＝b，直线 DB 的方程为 y＝－x＋b，直线 DB 与圆 O 相交得到的弦长为，则 2＝，所以 b＝1, a＝，所以椭圆 E 的方程为＋y2＝1.(2)由(1)得 a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，设直线 PA 的方程为 y＝(x＋)，由整理得 x2＋2t2x＋2t2－8＝0，解得 x1＝－，x2＝，则点 C 的坐标是，故直线 BC 的斜率为 kBC＝－，由于直线 OP 的斜率为 kOP＝，所以 kBC ·kOP＝－1，所以 OP⊥BC.所以 SOBPC＝××＝，S△ABC＝×2×＝，所以≤，整理得 2＋t2≥4，≥，所以 min＝.思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练 1 (2017 届福建省宁德市质检)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)上的点 M 到点 N 距离的最小值为.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 x0>2，圆 E：2＋y2＝1，过 M 作圆 E 的两条切线分别交 y 轴于 A，B 两点，求△MAB 面积的最小值．解 (1) ＝，又 y＝2px0，∴2＝x－4x0＋4＋2px0＝x－2x0＋4＝2＋4－2. x0≥0，∴当 2－p≤0，即 p≥2 时，min＝2，不符合题意，舍去；当 2－p>0，即 0
