第 7 讲 双曲线一、知识梳理1．双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.(1)当 2 a <| F 1F2|时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当 2 a ＝ | F 1F2|时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当 2 a >| F 1F2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Ry≤－a 或 y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率 e＝⇔两条渐近线 y＝±x 互相垂直．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.2．若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.4．设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为.5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 S△PF1F2＝b2·，其中 θ 为∠F1PF2.二、教材衍化1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，所以 2a＝＝b.又 a2＋b2＝c2，所以 5a2＝c2.所以 e2＝＝5，所以 e＝.答案：2．经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为－＝±1(a＞0)，把点 A(3，－1)代入，得 a2＝8(舍负)，故所求方程为－＝1.答案：－＝13．以椭圆＋＝1 的焦点为顶点，顶点为焦...
