第 16 讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆 C: x22+y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M的坐标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. [试做] 2.[2016·全国卷Ⅱ]已知椭圆 E: x2t+ y23=1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA.(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.[试做] 3.[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y-❑√3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为12.(1)求 M 的方程;(2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.[试做] 命题角度 圆锥曲线中的证明、范围与最值问题(1)解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等,常用方法为:① 证明两直线平行或垂直的方法:a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有 l1∥l2⇔k1=k2;b.若两直线斜率均存在,则一定有 l1⊥l2⇔k1·k2=-1.② 解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组),解决问题.(2)求解范围问题的常见方法:① 利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;② 利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;③ 利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④ 利用基本不等式求出参数的取值范围;⑤ 利用函数的值域求范围.(3)求圆锥曲线面积的最值问题的方法:① 转化为面积与某参量的函数,利用函数的性质求最值;② 得到关于面积的关系式后,利用基本不等式或求导求最值;③ 结合圆锥曲线的几何性质求最值.解答 1 最值问题1 已知 P 为椭圆 C: x24+ y23=1 长轴上的一个动点,过点 P 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点,点 M在第一象限,且 3⃗PM+⃗PN =0.(1)若点 N 为 C 的下顶点,求点 P 的坐标; (2)若 O 为坐标原点,当△OMN 的面积最大时,求点 P 的坐标.[听课笔记] 【考场点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:(1)公式意识,把求三角形的面积转化为求距离、求角等;(2)方程思想,...
