第 17 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆 C: x2a2+ y2b2=1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,❑√32 ),P4(1,❑√32 )中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. [试做] 2.[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现 AC⊥BC 的情况?说明理由.(2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 3.[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|O H ||O N | .(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.[试做] 命题角度 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(1)求解圆锥曲线中定值问题的基本思路:① 从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.(2)求解圆锥曲线中定点问题的基本思路:① 假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点;② 从特殊位置入手,找出定点,再证明该点满足题意.(3)存在性问题的求解方法:先假设存在,在假设存在的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明假设成立,否则说明假设不成立.解答 1 定点问题1 已知抛物线 C:x2=2y,直线 l:y=x-2,设 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B.(1)当点 P 在 y 轴上时,求线段 AB 的长;(2)求证:直线 AB 恒过定点.[听课笔记] 【考场点拨】解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点:(1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的;(2)注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;(3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向.【自我检测】已知椭圆 C: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32,M(a4 ,b)为焦点坐标是(12 ,0)的抛物线上一点,H 为直线 y=-a 上一点,A,B 分别为椭圆 C 的上、下顶点,且 A,B,H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆 C 的方程; (2)...
