第 17 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.[2017·全国卷Ⅱ] 设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: x22+y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足⃗NP=❑√2 ⃗NM.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且⃗OP·⃗PQ=1,证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F.[试做] 命题角度 定点问题解题策略解决定点问题的一般思路是证明直线系过定点、曲线过定点,解题的关键是在已知中寻找已知量和未知量之间的关系,如中点关系、平行关系、垂直关系、函数关系、不等式关系,通过变形转化为过定点的直线系或者曲线,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.2.[2017·全国卷Ⅲ] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现 AC⊥BC 的情况?说明理由.(2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.[试做] 命题角度 圆锥曲线中定值问题求解圆锥曲线中定值问题的基本思路是:① 从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.3.[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.[试做] 命题角度 求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法一般有直接法、定义法、相关点法.其中相关点法的思路是:若动点 P 的运动是由另外某一点 Q 的运动引发的,而点 Q 的坐标满足某已知曲线方程,则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出点 Q 的坐标,然后把点 Q 的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P的轨迹方程.4.[2016·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|OH ||ON | ;(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.[试做] 命题角度 存在性问题解析几何的存在性问题,也是探索性问题,解决这类问题的一般步骤是:① 假设满足条件的几何元素或参数值存在,将不确定的问题明确化;② 利用这些条件再结合题目的已知条件进行推理,若不出现矛盾,或者用待定系数法设出的方...
