第 21 讲 正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2017·全国卷Ⅰ,112017·山东卷,172017·天津卷,152017·浙江卷,14正、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.分值:5~12分1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容 == __=2R(R 为△ABC 外接圆半径)a2=__b 2 + c 2 - 2 bc cos _A__,b2=__a 2 + c 2 - 2 ac cos _B__,c2=__a 2 + b 2 - 2 ab cos _C__变形形式a=__2 R sin _A__,b=__2 R sin _B__,c=__2 R sin _C__,sin A=____,sin B=____,sin C=____,a∶b∶c=__sin A ∶ sin B ∶ sin C__,asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A,=2Rcos A=____,cos B=____,cos C=____2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A,解三角形时解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a
ba≤b解的个数__无解____一解____两解____一解____一解____无解__3.三角形常用的面积公式(1)S=a·ha(ha表示 a 边上的高).(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=.(3)S=r(a+b+c)(r 为内切圆半径).1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( √ )(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( × )(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( √ )(4)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × )(5)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( √ )解析 (1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知 sin A=,sin B=,由 sin A>sin B 得 a>b,即 A>B.2.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则 AC=( B )A.4 B.2 C. D.解析 由正弦定理得=,即=,所以 AC=×=2.3.在△ABC 中,a=,b=1,c=2,则∠A=( C )A.30° B.45° C.60° D.75°解析 cos A===,且 0°