第四节 基本不等式突破点一 利用基本不等式求最值1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．2．几个重要的不等式3．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2.(简记：积定和最小)(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(2)函数 f(x)＝cos x＋，x∈的最小值为 4.( )(3)x>0，y>0 是＋≥2 的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值为 2.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×二、填空题1．当 x>0 时，函数 f(x)＝的最大值为________．答案：12．已知 a，b∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 的最小值为________；若 a＋b＝1，则ab 的最大值为________．解析：由基本不等式得 a＋b≥2＝2，当且仅当 a＝b＝1 时取到等号；ab≤2＝，当且仅当 a＝b＝时取到等号．答案：2 3．若 a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．解析： a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，当且仅当即时取得等号．答案：44．已知 a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．解析：由 a＋2b＝3 得 a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当 a＝2b＝时取等号．答案：考法一 通过拼凑法利用基本不等式求最值 利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．[例 1] (1)(2019·泉州检测)已知 02)的最小值为 6，则正数 m 的值为________．[解析] (1) 02，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当 x＝2＋时取等号，又函数 y＝x＋(x>2)的最小值为 6，∴2＋2＝6，解得 m＝4.[答案] (1)B (2)4[方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略(1)拼凑...
