专题三三角函数与解三角形第二讲三角恒等变换与解三角形适考素能特训理一、选择题1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝()A．－B．－C.D.答案D解析sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝，故选D.2．[2016·广西质检]已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于()A.B.C.D.答案C解析由3sin2α＝2cosα得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝＝.3．[2016·郑州质检]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝()A．－B.C．－D.答案B解析由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.4．[2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为()A．9hB．10hC．11hD．12h答案B解析记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求时间为10＋5－10＋5＝10(h)，故选B.5．[2016·云南统测]已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于()A.B.C.D.答案A解析根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.6．[2016·郑州质量预测]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是()A.B.C.D.或答案D解析sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，即2sinBcosA＝6sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面积公式知S＝bc＝；当cosA≠0时，由2sinBcosA＝6sinAcosA可得sinB＝3sinA，根据正弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cosC＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝absinC＝.综上可得三角形的面积为或，所以选D.二、填空题7．已知tanα，tanβ是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.答案1解析lg(6x2－5x＋2)＝0⇒6x2－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.8．[2016·贵阳监测]在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．答案直角三角形解析由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．9．[2016·西安质检]已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3，若△ABC的面积为45，则△ABC外接圆的半径为________．答案14解析因为a∶b∶c＝7∶5∶3，所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，由余弦定理得，cosA＝＝＝－.因为A是△ABC的内角，所以sinA＝＝，因为△ABC的面积为45，所以bcsinA＝45，即×5k×3k×＝45，解得k＝2.由正弦定理＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，即2R＝＝，解得R＝14，所以△ABC外接圆半径为14.三、解答题10．[2016·重庆测试]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2＋sin2A＝1.(1)求A；(2)设a＝2－2，△ABC的面积为2，求b＋c的值．解(1)由2cos2＋sin2A＝1可得，2＋2sinAcosA＝1，所以1＋cos(π－A)＋2sinAcosA＝1，故2sinAcosA－cosA＝0.因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝，从而A＝.(2)因为△ABC的面积为bcsinA＝bc＝2，所以bc＝8.因为A＝，故cosA＝，由余弦定理可知，b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc.又a＝2－2，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝(2＋)bc＋a2＝8×(2＋)＋(2－2)2＝32.故b＋c＝＝4.11．[2016·武汉调研]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．解(1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋...
