重点强化训练(三)不等式及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx≥＋2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)C[取x＝，则lg＝lgx，故排除A；取x＝π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D.]2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17B[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．2B．4C．3D．6C[由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.]4≤．不等式x－2的解集是()A．[－∞，0)∪(2,4]B．[0,2)∪[4∞，＋)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4∞，＋)B[①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，解得0≤x<2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(∞－，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1∞，＋)C[因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．－10[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为__________.【导学号：31222217】3[令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.∴tmax＝＝3.]8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．【导学号：31222218】∪[由题意，要使8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2α－32cos2α≤0，化简得cos2α≥.又0≤α≤π，∴0≤2α≤≤或2α≤2π，解得0≤α≤≤或α≤π.]三、解答题9．已知不等式>0(a∈R)．(1)解这个关于x的不等式；(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．[解](1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0.解得x<－1或x>；3分③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；若<－1，即－1
－1，即a<－1，则－10时，解集为.6分(2) x＝－a时不等式成立，∴>0，即－a＋1<0，10分∴a>1，即a的取值范围为(1∞，＋).12分10．(2016·全国卷Ⅰ改编)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元．[解]设生产产品Ax件，产品By件，则5分目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z＝2100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值...
