第六节双曲线————————————————————————————————[考纲传真]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1∞，＋)，其中c＝a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B.C.D．1D[依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]3．(2017·福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3B[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)A[ 原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.∴则因此－10，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________．x2－＝1[由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，∴＝2，即b＝2a，①又 双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②联立①②得a2＝1，b2＝4.∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]双曲线的定义及应用(2017·哈尔滨质检)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6B[由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.][规律方法]1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)“具备的几何条件，即到两定点(焦点)”“”的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离．若定义中的绝对值去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系．[变式训练1]已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.B.C.D.A[由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝.]双曲线的标准方程(1)(2017·广州模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()【导学号：31222317】A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1(2)(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1(1)C(2)A[(1)由焦点F2(5,0)知c＝5.又e＝＝，得a＝4，b2＝c2...
