热点专题突破一函数与导数的综合问题1.函数f(x)=,若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线e2x-y+e=0垂直(其中e为自然对数的底数).(1)若f(x)在(m,m+1)内存在极值,求实数m的取值范围;(2)求证:当x>1时,.1.【解析】(1) f'(x)=,由已知得f'(e)=-,∴-=-,故a=1.∴f(x)=,f'(x)=-(x>0).当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.∴x=1是函数f(x)的极大值点.又f(x)在(m,m+1)内存在极值,∴m<1
1,∴φ'(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上是增函数,∴φ(x)>φ(1)=1>0,∴g'(x)>0.∴g(x)在(1,+∞)上是增函数.∴x>1时,g(x)>g(1)=2,故.令h(x)=,则h'(x)=2. x>1,∴1-ex<0,∴h'(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是减函数,∴当x>1时,h(x)h(x),即.2.(2015·南京模拟)如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD,其中AB,CD,DA都是线段,曲线段BC是抛物线的一部分,且点B是抛物线的顶点,BA所在直线是该抛物线的对称轴,经测量,AB=2米,AD=3米,AB⊥AD,点C到AD,AB的距离CH,CR的长均为1米,现要用这块边角料截一个矩形AEFG(其中点F在曲线段BC或线段CD上,点E在线段AD上,点G在线段AB上).设BG的长为x米,矩形AEFG的面积为S平方米.(1)将S表示为x的函数;(2)当x为多少米时,S取得最大值,最大值是多少?2.【解析】(1)以点B为坐标原点,BA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设曲线段BC所在的抛物线方程为y2=2px(p>0).将点C(1,1)代入,得2p=1,所以曲线段BC的方程为y=(0≤x≤1).又由点C(1,1),D(2,3)得线段CD的方程为y=2x-1(1≤x≤2),而GA=2-x,所以S=(2)①当0≤x≤1时,因为S=(2-x)=2,所以S'=,令S'=0得x=.当x∈时,S'>0,所以此时单调S递增;当x∈时,S'<0,所以此时S单调递减,所以当x=时,Smax=.当10.若a≤0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>0,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(2)由(1)知,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立.若a>2,当x∈时,f(x)单调递减,f(x)>f(1)=0,不合题意.若0f(1)=0,不合题意.若a=2,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=0符合题意.当x11,则g'(x)=-2=<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f'(x)>0.所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是即①设函数g(t)=et-t-e+1,则g'(t)=et-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,g(m)>0,即em-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].5.(2015·宜春模拟)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若y=在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“一阶比增函数”,若y=在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“二阶比增函数”.把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A,把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2.(1)已知函数f(x)=x3-2hx2-hx,若f(x)∈A1且f(x)∉A2,求实数h的取值范围.(2)已知f(x)∈A...
