第四课时利用导数研究含参数不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号分离参数求解不等式问题1,2,7转化法求解不等式问题3,4,5,6含全称、存在量词不等式问题81.(2016·南京市、盐城市高三年级第一次模拟)已知函数f(x)=在x=0处的切线方程为y=x.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈(0,2),都有f(x)<成立,求k的取值范围.解:(1)由题意得f′(x)=,因为函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f′(0)==1,得a=1.(2)由(1)知f(x)=<对任意x∈(0,2)都成立,所以由>0知k+2x-x2>0,即k>x2-2x对任意x∈(0,2)都成立,从而k≥0.又不等式整理可得k<+x2-2x,令g(x)=+x2-2x,所以g′(x)=+2(x-1)=(x-1)(+2)=0,得x=1,当x∈(1,2)时,g′(x)>0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,同理,函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以k0,所以a≤在区间[1,e]上有解.令h(x)=,则h′(x)=.因为x∈[1,e],所以x+2>2≥2lnx,所以h′(x)≥0,h(x)单调递增,所以x∈[1,e]时,h(x)max=h(e)=,所以a≤,所以实数a的取值范围是(-∞,].3.已知函数f(x)=alnx-x2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a<0,且对任意x1,x2∈(0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=-2x=.当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,当a>0时,f′(x)=0,得x=(舍负).由f′(x)>0得>x>0,由f′(x)<0得x>.f(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数.(2)若a<0,f(x)在(0,+∞)上是减函数,由x1f(x2),所以|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,即f(x1)-f(x2)≥x2-x1.即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,只要满足g(x)=f(x)+x在(0,+∞)上为减函数.g(x)=alnx-x2+1+x,则g′(x)=-2x+1≤0,即a≤2x2-x在(0,+∞)上恒成立,a≤(2x2-x)min,(2x2-x)min=-,所以a≤-,即a的取值范围是(-∞,-].4.设函数f(x)=x(ex-1)+ax2.(1)当a=-时,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.解:(1)当a=-时,f(x)=x(ex-1)-x2.f′(x)=(ex-1)+xex-x=(x+1)(ex-1).所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(0,+∞).f(x)的单调递减区间为(-1,0).(2)f(x)=x(ex-1+ax)≥0,x≥0.令g(x)=ex-1+ax,x∈[0,+∞),g′(x)=ex+a.当a≥-1时,g′(x)=ex+a≥0,g(x)在[0,+∞)上为增函数.而g(0)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0恒成立.若当a<-1时,令g′(x)=ex+a=0,得x=ln(-a).当x∈(0,ln(-a))时,g′(x)<0,g(x)在(0,ln(-a))上是减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,ln(-a))时,g(x)<0,即f(x)<0,f(x)≥0不恒成立.综上可得a的取值范围为[-1,+∞).5.导学号18702138已知函数f(x)=lnx,g(x)=.(1)当k=e时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数k的值.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)且h(x)=lnx-,当k=e时,h(x)=lnx-,所以h′(x)=-=.若0e,则h′(x)>0.所以h(x)是(0,e)上的减函数,是(e,+∞)上的增函数,故h(x)极小值=h(e)=2-e,故函数h(x)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为(e,+∞),极小值为2-e,无极大值.(2)由(1)知,h′(x)=-=,当k≤0时,h′(x)>0对x>0恒成立,所以h(x)是(0,+∞)上的增函数,h(1)=0,所以00时,若0k,h′(x)>0.所以h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+∞)上的增函数,故只需h(x)min=h(k)=lnk-k+1≥0.令u(x)=lnx-x+1(x>0),所以u′(x)=-1=.当00;当x>1时,u′(x)<0.所以u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数.故u(x)≤u(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,所以当且仅当k=1时,h(x)≥0成立,即k=1为所求.6.(2016·四川卷)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1...
