【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：45分钟)一、选择题1.点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2D.y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案D2.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.4解析设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，∴y＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2.由y2＝4x，知焦点F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.答案C3.(2015·浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.解析过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|－1.可知＝＝＝＝，故选A.答案A4.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.解析 A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝m(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8my＋24m＋16＝0②，则Δ＝(－8m)2－4(24m＋16)＝0，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－(舍去)，将m＝2代入①②解得即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选D.答案D5.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点.若AF＝mFB，则实数m的值为()A.B.C.2D.3解析联立抛物线与直线方程得，解得xA＝3，xB＝， 所给直线经过抛物线的焦点F，且其准线为x＝－1，∴A点到准线的距离为4，B点到准线的距离为，据抛物线定义可有|AF|＝3|FB|，结合已知条件AF＝mFB可得，m＝3.故选D.答案D二、填空题6.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程________.解析 y2＝2px的焦点坐标为，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.答案x＝－17.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________.解析如图，由AB的斜率为，知α＝60°，又AM＝MB，∴M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.∴＝＝.∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.答案28.(2016·沈阳质量监测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋＋＝________.解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则＋＋＝(0，0)，故y1＋y2＋y3＝0.因为＝＝＝，同理可知＝，＝，所以原式＝＝0.答案0三、解答题9.(2016·湛江质检)双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.(1)求抛物线C的方程；(2)过M(－1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程.解(1)双曲线的离心率e＝＝，又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0，1)，又p>0，∴抛物线的焦点为(0，1)，∴抛物线方程为x2＝4y.(2)由题知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， y＝x2，∴y′＝x，∴切线l1，l2的斜率分别为，，当l1⊥l2时，·＝－1，∴x1x2＝－4，由得x2－4kx－4k＝0，∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，∴k<－1或k>0.①由根与系数的关系得，x1·x2＝－4k＝－4，∴k＝1，满足①，即直线的方程为x－y＋1＝0.10.(2014·陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程.解(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0...
