第23练数列的证明、通项与求和[明考情]数列的通项与求和是高考的热点，考查频率较高.中档难度，一般在解答题的前半部.[知考向]1.等差、等比数列的判定与证明.2.数列的通项与求和.考点一等差、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d，d为常数，则{an}为等差(比)数列.(2)中项公式法.(3)通项公式法.1.(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式.解(1)由题意得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*).(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}既是等差数列又是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－2an＋1＝an＋1－2an，又bn＝an＋1－2an，所以bn＋1＝an＋2－2an＋1，因此对任意的n∈N*，bn＋1－bn＝0(常数)，又bn＝an＋1－2an＝an－2an－1＝…＝a2－2a1＝2≠0，所以＝1(常数)，根据等差数列和等比数列的定义知，数列{bn}既是等差数列又是等比数列.(2)解方法一由(1)知，an＝2an－1＋2，①由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，又a2－a1＝3，所以数列{an＋1－an}是首项为3，公比为2的等比数列，an－an－1＝3·2n－2(n≥2)，②联立①②得，an＝3·2n－1－2(n≥2)，经检验当n＝1时也符合该式.故数列{an}的通项公式为an＝3·2n－1－2(n∈N*).方法二由(1)可得an＋1＝2an＋2，即an＋1＋2＝2(an＋2)，所以数列{an＋2}是公比为2的等比数列，则an＋2＝(a1＋2)·2n－1＝3·2n－1，即an＝3·2n－1－2(n∈N*).3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式.(1)解在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1，2，3，得解得(2)证明由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)，得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减，得an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，an＝2an－1－(－1)n－(－1)n＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n(n≥2)，∴an＋(－1)n＝2[an－1＋(－1)n－1](n≥2).故数列是以a1－＝为首项，2为公比的等比数列.∴an＋(－1)n＝×2n－1，an＝×2n－1－×(－1)n＝－(－1)n.4.(2016·全国Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和.解(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.5.(2017·日照一模)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cncn＋2}的前n项和Tn.(1)证明 bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2，∴数列{bn}是公差为2的等差数列.又b1＝＝2，∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n，∴2n＝，解得an＝.(2)解由(1)可得cn＝＝，∴cncn＋2＝×＝2，∴数列{cncn＋2}的前n项和为Tn＝2＝2＝3－.6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.考点二数列的通项与求和方法技巧(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法①累加(乘)法形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法；...
