椭圆、双曲线命题点 1 椭圆、双曲线的定义与标准方程 利用定义求解圆锥曲线的标准方程要做到“两要素、一结合”(1)两个要素：一是等式，二是条件．① 椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．② 双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．(2)一结合：数形结合，即把题设中的几何等量关系代数化，同时要分析几何图形所隐含的等量关系．[高考题型全通关]1．[教材改编]方程＋＝1 表示椭圆的必要不充分条件是( )A．m∈(－1,2)B．m∈(－4,2)C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)D．m∈(－1，＋∞)B [方程＋＝1 表示椭圆的充要条件是即 m∈(－4，－1)∪(－1,2)．而当 m＝－1 时，方程表示圆，不是椭圆．由题意可得，所求的 m 的范围真包含集合(－4，－1)∪(－1,2)，结合所给的选项，故选B．]2．(2020·东莞市模拟)已知 F1、F2分别为椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若△AF2B 是边长为 4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1B [因为△AF2B 是边长为 4 的等边三角形，所以∠AF2F1＝30°，2a＝|AF1|＋|AF2|＝2＋4＝6，2c＝|F1F2|＝|AF1|＝2，所以 b2＝a2－c2＝9－3＝6，所以椭圆的方程为＋＝1，故选 B．]3．(2020·濮阳一模)已知 P 为圆 C：(x－5)2＋y2＝36 上任意一点，A(－5,0)，若线段 PA的垂直平分线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为( )A．＋＝1 B．－＝1C．＋＝1(x<0) D．－＝1(x>0)B [由点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点，∴|AQ|＝|PQ|.又 ||QA|－|QC||＝|PC|＝6＜|AC|＝10，满足双曲线定义且 a＝3，c＝5，∴b＝4，∴轨迹方程：－＝1.故选 B．]4．(2020·桂林联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程 y＝2x，且点 P 为双曲线右支上一点，且 F1，F2为双曲线左右焦点，△F1F2P 的面积为 4，且∠F1PF2＝60°，则双曲线的实轴的长为( )A．1 B．2 C．4 D．4B [双曲线－＝1 的渐近线方程为 y＝±x，由一条渐近线方程为 y＝2x，可得 b＝2a，由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2 ①由余弦定理，有|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即为|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2 ②由①②可得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，△F1F2P 的面积为 4，可得|PF1|·|PF2|sin 60°＝·4b2·＝b2＝4，解得 b＝2，a＝1，所以实轴长 2a...
