学案 26 平面向量的数量积【导学引领】考点梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；如果a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.2．平面向量的数量积已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a||b|·cos θ 叫做向量 a 和b 的数量积(或内积)，记作 a·b＝|a||b|·cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为 0.3．平面向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．4．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|；特别地，a·a＝|a|2；|a|＝；(4)cos θ＝；(5)|a·b|≤|a||b|.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b(λ 为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，由此得到(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x 2 ＋ y 2 或|a|＝.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝.(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. “分解与组合”、“配方与平方”等．【自学检测】1．已知向量 a＝(3,1)，b＝，若向量 a＋λb 与向量 a 垂直，则实数 λ的值为________．2．已知单位向量 a，b 的夹角为 120°，那么|2a－xb|(x∈R)的最小值是________．3．在等边三角形 ABC 中，点 P 在线段 AB 上，满足AP＝λAB，若CP·AB＝PA·PB，则实数 λ＝________.4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为________．5．如图，在菱形 ABCD 中，若 AC＝4，则CA·AB＝________.【合作释疑】向量的数量积【训练 1】如图，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AB＝6，点 D 在斜边 BC 上，且 CD＝2DB，则AB·AD的值为________．【训练 2】如图，在△ABC 中，M 是 BC 的中点，|AM|＝1，AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)＝________.利用平面向量数量积求夹角与模【训练 1】(1)已知 a，b...
