第一章 导数及其应用题型一 导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和 y1＝f(x1)求出 x1，y1的值，转化为第一种类型．例 1 已知函数 f(x)＝ex－ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A，曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线斜率为－1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x>0 时，x2ln 2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当 x＝ln 2 时，f(x)取得极小值，且极小值 f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明 令 g(x)＝ex－x2，则 g′(x)＝ex－2x.由(1)得 g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0.故 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)＝1>0，因此，当 x>0 时，g(x)>g(0)>0，即 x20，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例 2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；(2)f(x)＝x(x－a)2.解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令 f′(x)>0，解得 x>2，又 x∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．(2)函数 f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x 的定义域为 R，由 f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得 x1＝，x2＝a.① 当 a>0 时，x1x2，∴...
