高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.4 函数的应用（Ⅱ）课堂导学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

3.4 函数的应用（Ⅱ）课堂导学三点剖析一、给出函数模型的问题【例 1】某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到 1 万元)?解析：(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元,由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知 f(1)=,∴k1=.又 g(4)=,∴k2=.从而 f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元.设企业利润为 y 万元.y=f(x)+g(10-x)=+,∴0≤x≤10.令=t,则 y=+t=(t)2+(0≤t≤).当 t=时,ymax=≈4,此时 x=10=3.75.答:当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约 4 万元.温馨提示 本问题一般有三类:(1)直接给出函数解析式;(2)给出函数图象,根据图象上的关键点求出解析式;(3)给出函数类型,自己设出解析式,利用待定系数法求出解析式.二、构造函数模型【例 2】按复利计算利率的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和是多少?思路分析：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期的利息.解：已知本金为 a 元,1 期后的本利和为 y1=a+a×r=(1+r)a;2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3 期后的本利和为 y3=a(1+r)3;…x 期后的本利和为 y=a(1+r)x,将 a=1000,r=2.25%,x=5 代入上式得y=1000(1+2.25%)5=1000×1.02255.由计算器算得 y=1117.68(元).答:函数式为 y=a(1+r)x,5 期后的本利和为 1117.68 元.温馨提示 在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为 N,平均增长率为 p,则对于时间 x 的总产值或总产量 y,可以用公式 y=N(1+p)x表示.解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.三、函数模型的综合应用【例 3】如下图，河流航线 AC 段长 40 千米，工厂 B 位于码头 C 正北 30 千米处，原来工厂 B所需原料由码头 A 装船沿水路到...