（初升高）高一数学衔接班第5讲——不等式一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法，如不等式组法、图象法2.掌握简单分式不等式的解法3.会解简单的含字母系数的不等式，会求有关字母取值或取值范围的问题二、学习重点一元二次不等式的解法三、课程精讲1.新知探秘问题：如何解不等式．思路导航：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则---正正（负负）得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：方法一：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是．点津：当把一元二次不等式化为的形式后，只要等式左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法。形如的不等式称为关于的一元二次不等式．知识点一：一元二次不等式的解法——不等式组法例1.解下列不等式：（1）（2）思路导航：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数．解：（1）原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．（2）原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．点津：在将不等式化为的形式时，通常把二次项系数化正，还要注意进行正确的分解因式知识点二：一元二次不等式的解法——图象法问题：对于如何解不等式，还有其他的解法吗？解：方法二：二次函数（1）作出图象（如图所示）；（2）根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时．就是说对应的一元二次方程的两个实数根是．（3）当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解是．当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（1）求相应一元二次方程的根；（2）观察相应的二次函数的图象。①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根（也可由根的判别式来判断）。②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根（也可由根的判别式来判断）．③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式来判断）。简单的说，求解一元二次不等式的步骤为：（1）求根（2）画图（3）写出解集例2.解下列不等式：（1）（2）思路导航：按着图象法的解题步骤进行解：（1）不等式可化为∴一元二次方程的两根为-2、4∴由图象知，不等式的解是（2）不等式可化为∴由图象知不等式的解是仿练：解：不等式对应的一元二次方程无解由的函数图像可知，原不等式无解点津：实际上，“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在联系，简称为“三个二次的关系”；“三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去，即一元二次方程的根是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，也是一元二次不等式解的端点值，当然，这部分内容到高中还会学习到。知识点三：简单分式不等式的解法例3.解下列不等式：（1）（2）思维导航：（1）类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组再进行处理；或者因为两个数（式）相除为异号，那么这两个数（式）相乘也为异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．（2）注意到经过配方后，分母实际上是一个正数解：（1）法一：原不等式可化为：法二：原不等式可化为：．（2） 原不等式可化为：点津：分式不等式可以通过转化成一元一次不等式组来求解，当然，还有其他的方法，那就是可以转化成一元二次不等式来求解，但请注意不等式与一元二次不等式是否同解。事实上，它们的解并不相同，的解为，而的解为。例4.解不等式思路导航：分母当中含有未知量x，而不等式的右端并不为0，此题能直接去分母吗？显然，因为分母的符号不能确定，所以此题不能直接去分母，可以通过移项，把不等式的一端化为0。解：原不等式可化为：点津：（1）转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．（2）本例若采取直接去分母的方法，则需要讨论分母的符号：【直击高中】在高中，经常会遇到含有字母系数的不等式，这样的字母我们称为参数，在含有参数的不等式中，由于参数取值的不同，会导致不等式解的不确定，换句话说，参数取值的不同，导致不等式解的结果不同，所以往往需要对参数的取值范围分情况讨论，从而讨论不等式的解...
