第五节椭圆A组基础题组1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.B.(1,+∞)C.(1,2)D.2.已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为()A.2B.2C.4D.44.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为()A.3B.3或C.D.6或35.已知椭圆+=1(0b>0)的离心率为,右焦点为F,点Q(0,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线交椭圆C于M,N两点,交直线x=2于点P,设=λ,=μ,求证:λ+μ为定值.B组提升题组10.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为()A.B.C.D.11.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=112.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.13.已知点P(,1)和椭圆C:+=1.(1)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率;(2)若直线l:x-2y+m=0(m≠0)与椭圆C交于两个不同的点A,B,直线PA,PB与x轴分别交于M,N两点,求证:|PM|=|PN|.14.(2017北京西城一模,19)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F为椭圆C的右焦点,A(-a,0),|AF|=3.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D,过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E.求证:∠ODF=∠OEF.答案精解精析A组基础题组1.C 方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以解得故k的取值范围为(1,2).2.C设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1.3.D依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2=2=4.4.C由椭圆的方程知a=2,b=,c=1,当点P为短轴端点(0,)时,∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2),此时|PF1|==,=××2=.故选C.5.D由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短,则=3.所以b2=3,即b=.6.答案+=1解析由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由离心率e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为+=1,将P(-5,4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为+=1.7.答案+=1解析设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.8.答案120°解析由椭圆定义知,|PF2|=2,|F1F2|=2×=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.9.解析(1)因为点Q(0,1)在椭圆C:+=1上,所以=1,即b=1.又因为椭圆C的离心率为,所以=,结合a2=b2+c2,得a=.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)得F(1,0),易知直线MN的斜率存在,故可设直线MN的方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),则P(2,k).由=λ,=μ,得λ=,μ=.所以λ+μ=+=,联立得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.所以x1+x2=,x1x2=.所以3(x1+x2)-2x1x2-4=3×-2×-4==0,所以λ+μ=0,为定值.B组提升题组10.B由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),又=(0,y0),所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.11.B设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F',连接PF',如图所示.因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|===8.由椭圆定义,得|PF|+...
