三、考点纵横——5大常考考点之神思妙解常考点1最值问题的5大解法方法1函数法(1)利用已知函数性质求最值根据已知的函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.典例1函数y=cos2x+2cosx的最小值是.答案-解析y=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx-1=2-≥-,当且仅当cosx=-时,函数取得最小值-.(2)构建函数模型求最值很多最值问题需要先建立函数模型,然后利用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是角度(弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.典例2在△ABC中,点D满足=,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是()A.B.C.D.答案C解析设=x(0≤x≤1),因为=+=+=+(-)=+,所以=x+x,又=λ+μ,且,不共线,所以λ=x,μ=x,所以t=(λ-1)2+μ2=+=(5x2-4x+8),在x=时取得最小值.故选C.点评已知E点在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解.方法2不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.典例3已知圆O的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点,那么·的最小值为.答案2-3解析连接OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0<θ<,则||=||=,所以·=||·||·cos2θ======(1-cos2θ)+-3≥2-3,当且仅当1-cos2θ=,即cos2θ=1-时等号成立.(2)建立求解目标的不等式求最值把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.典例4已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),c>0,且c2=a2-b2.若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为.答案解析由题意得可得结合e∈(0,1),可得00,f(x)单调递增,当x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,又f'(n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增,所以f'(n)的最小值为f'(-1)=-9.故[f(m)+f'(n)]min=f(m)min+f'(n)min=-4-9=-13.(2)构造函数利用导数求最值不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值问题,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值时导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.典例6已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.若存在x∈(e是自然对数的底数,e=2.71828…)使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的最大值.解析由题意知2xlnx≥-x2+ax-3,x∈,即a≤2lnx+x+,x∈.令h(x)=2lnx+x+,x∈,则h'(x)=+1-=,当x∈时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减;当x∈(1,e]时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增.所以h(x)max=max,因为存在x∈,使2f(x)≥g(x)成立,所以a≤h(x)max,又h=-2++3e,h(e)=2+e+,所以h-h(e)=-4+2e->0,故h>h(e),所以a≤+3e-2.即a的最大值为+3e-2.点评2f(x)≥g(x)可变形为a≤2lnx+x+,由题意可知,a小于或等于h(x)=2lnx+x+的最大值,从而将问题转化为求函数h(x)=2lnx+x+,x∈的最大值问题.方法4数形结合法(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数形结合思想的具体体现).典例7设点P在曲线y=x2+1(x≥0)上,点Q在曲线y=(x≥1)上,则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.答案B解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略),可知两个函数的图象关于直线y=x对称.考虑函数y=x2+1(x≥0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标,由y'=2x=1,得x=,进而y=,即函数y=x2+1(x≥0)图象上在点处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=0的距离为=,这个距...
