一、光速解题——学会12种快速解题技法技法1特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证的演算过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.典例1(特殊数值)(1)设f(x)=若f(x0)>3,则x0的取值范围为()A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(0,2)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,3)(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=()A.2n-1-1B.2n-1C.2n-1D.2n+1答案(1)C(2)B解析(1)取x0=1,则f(1)=+1=<3,故x0≠1,排除B、D;取x0=3,则f(3)=log28=3,故x0≠3,排除A.故选C.(2)取n=1,则S1=2a1-1,得a1=1,排除A、D;取n=2,则S2=a1+a2=2a2-2,得a2=3;取n=3,则S3=a1+a2+a3=2a3-3,得a3=7,排除C,故选B.典例2(特殊点)(1)函数f(x)=的图象是()(2)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=()A.1B.2C.D.答案(1)C(2)A解析(1)因为x≠±1,所以排除A;因为f(0)=1,所以函数f(x)的图象过点(0,1),排除D;因为f==,所以排除B,故选C.(2)不妨取点P,则S1=×(5-4)=,PD=2,PE=,所以S2=×2×=,所以S1∶S2=1.典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:①“影子函数”f(x)的值域可以是R;②“影子函数”f(x)可以是奇函数;③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y=f(x)·g(x)是“影子函数”.上述正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.②③答案B解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)f(x2)=1,所以①错;对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=,则f(x1)f(x2)=1,又因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数”f(x)可以是奇函数,②正确;对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)=f(x)g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2)=1),所以③错.综上,应选B.典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+=()A.3B.4C.5D.(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为()A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.∶1答案(1)A(2)B解析(1)由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.解法一:如图①,令PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.故选A.解法二:如图②,直线BE与直线PQ重合,此时,=,=,故m=1,n=,所以+=3.故选A.(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有==.因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.典例5(特殊图形)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,则=()A.B.C.D.答案B解析不妨令△ABC为等边三角形,则cosA=cosC=,=.故选B.典例6(特殊数列)如果a1,a2,a3,…,an为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则下列关系正确的为()A.a1a8>a4a5B.a1a8
a4+a5D.a1a8=a4a5答案B解析取特殊数列,不妨设an=n,则a1=1,a4=4,a5=5,a8=8,经检验,只有选项B成立.技法2换元法换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推证.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典例1(三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.答案[4,12]解析已知x2+2xy+4y2=6,即(x+y)2+(y)2=()2,故设x+y=c...
