第71讲圆锥曲线中的范围、最值问题夯实基础【p161】【学习目标】会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的范围与推导最值问题，培养推理思维能力、运算能力．【基础检测】1．抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是()A.B．(1，1)C.D．(2，4)【解析】法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得d＝＝＝＝≥.当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1，1)．法二：设2x－y＋m＝0与y＝x2相切，则x2－2x－m＝0.Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，此时x＝1，∴点的坐标为(1，1)．法三：(导数法)y＝x2的导数为y′＝2x，设所求点为P(x0，y0)，则2x0＝2.∴x0＝1，∴P(1，1)．【答案】B2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(1，3]D．(1，3)【解析】依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0. 渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a，∴e＝≥3.【答案】A3．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是__________．【解析】设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝·＝＝＝－，因为k2∈[－2，－1]，所以k1∈.【答案】4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OP·FP的最小值为________．【解析】点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·＋. －3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤≤，∴≤≤，∴6≤·＋≤12，即6≤OP·FP≤12.故最小值为6.【答案】65．点M(20，40)，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．【解析】由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离＝到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|.(1)当M(20，40)位于抛物线内，∴|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|，当M，P，D共线时，|PM|＋|PF|的距离最小，由最小值为41，即20＋＝41，解得：p＝42.满足题意；(2)当M(20，40)位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|＋|PF|取最小值，即＝41，解得：p＝22或58，当p＝58时y2＝116x，则点M(20，40)在抛物线内，舍去．(3)当M(20，40)在抛物线上，得p＝40，当P与M重合时，|PM|＋|PF|取最小值40，此时不满足，舍去．【答案】42或22【知识要点】1．求圆锥曲线的有关最值，常用方法有：代数法和几何法．(1)代数法：借助函数求最值的方法．运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法．常用的方法有：①配方法：由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值紧密联系，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值；②基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值；③三角法：借助圆锥曲线的参数方程或三角代换，将所求最值问题转化为三角函数的最值问题．(2)几何法：①利用圆锥曲线的定义结合对称的有关结论求到两定点距离的和差的最值；②利用平面几何中的有关结论求其最值．2．参变量范围问题．通常应用转化与化归思想，将问题转化为参数的方程，在某给定范围内有解的问题，或挖掘题设的约束条件，将问题转化为与参变量相关的存在性问题，然后综合应用方程、不等式和函数等基础知识求得参变量的取值范围．典例剖析【p161】考点1圆锥曲线中的最值问题如图，已知圆E：(x＋1)2＋y2＝8，点F(1，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹Г的方程；(2)已知A，B，C是轨迹Г上的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|＝|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1) Q在线段PF的垂直平分线上，∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2，...
