课时作业67离散型随机变量的均值与方差1．甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球(除颜色外完全相同)的袋中轮流不放回摸取1个球，摸到黑球便结束该局，且摸到黑球的人获胜．(1)若在一局游戏中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；(2)若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望．解：(1)记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，易知黑球被摸到的情况有5种，且被甲摸到的情况有3种，所以P(A)＝.故甲在该局获胜的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，所以X的概率分布为X0123P数学期望E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.2．已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．解：(1)该小组恰有两次失败的概率P＝C()2()4－2＝＝.(2)由题意可知X的取值集合为{0,2,4}，则P(X＝0)＝C()2()4－2＝＝，P(X＝2)＝C()1()4－1＋C()3()4－3＝＝，P(X＝4)＝C()4＋C()4＝＝.故X的分布列为X024PE(X)＝0×＋2×＋4×＝，即所求数学期望为.(3)由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有C＝20(个)基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A＝12(个)，从而由古典概型可得所求概率P＝＝.3．为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度[0,210](210,400](400，＋∞)某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故ξ的分布列为ξ0123P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X户，则X～B(10，)，可知P(X＝k)＝C()k()10－k(k＝0,1,2,3，…，10)，，解得≤k≤，k∈N*，∴当k＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大，∴k＝6.4．某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)．(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)由题意知，X的所有可能值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4...
