课时作业67离散型随机变量的均值与方差1.甲、乙两人玩摸球游戏,每两局为一轮,每局游戏的规则如下:甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球(除颜色外完全相同)的袋中轮流不放回摸取1个球,摸到黑球便结束该局,且摸到黑球的人获胜.(1)若在一局游戏中甲先摸,求甲在该局获胜的概率;(2)若在一轮游戏中约定:第一局甲先摸,第二局乙先摸,每一局先摸并获胜的人得1分,后摸并获胜的人得2分,未获胜的人得0分,求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.解:(1)记“一局中甲先摸,甲在该局获胜”为事件A,易知黑球被摸到的情况有5种,且被甲摸到的情况有3种,所以P(A)=.故甲在该局获胜的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=×=,P(X=1)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,所以X的概率分布为X0123P数学期望E(X)=×0+×1+×2+×3=.2.已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了四次试验,求该小组恰有两次失败的概率;(2)第二小组做了四次试验,设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X,求X的分布列及数学期望;(3)第三小组进行试验,到成功了四次为止,在第四次成功之前共有三次失败的前提下,求恰有两次连续失败的概率.解:(1)该小组恰有两次失败的概率P=C()2()4-2==.(2)由题意可知X的取值集合为{0,2,4},则P(X=0)=C()2()4-2==,P(X=2)=C()1()4-1+C()3()4-3==,P(X=4)=C()4+C()4==.故X的分布列为X024PE(X)=0×+2×+4×=,即所求数学期望为.(3)由题意可知,在第四次成功之前共有三次失败的前提下,共有C=20(个)基本事件,而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A=12(个),从而由古典概型可得所求概率P==.3.为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度[0,210](210,400](400,+∞)某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:居民用电户编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元?(2)现要从这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.解:(1)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元).(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ,可知第二阶梯电量的用户有3户,则ξ可取0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,故ξ的分布列为ξ0123P∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X户,则X~B(10,),可知P(X=k)=C()k()10-k(k=0,1,2,3,…,10),,解得≤k≤,k∈N*,∴当k=6时用电量为第一阶梯的可能性最大,∴k=6.4.某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神,鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A,B,C,经引种试验后发现,引种树苗A的自然成活率为0.8,引种树苗B,C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9).(1)任取树苗A,B,C各一棵,估计自然成活的棵数为X,求X的分布列及E(X).(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n棵B种树苗,引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理,处理后成活的概率为0.8,其余的树苗不能成活.①求一棵B种树苗最终成活的概率;②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元,不成活的每棵亏损50元,该农户为了获利不低于20万元,问至少引种B种树苗多少棵?解:(1)由题意知,X的所有可能值为0,1,2,3,则P(X=0)=0.2(1-p)2,P(X=1)=0.8×(1-p)2+0.2×C×p×(1-p)=0.8(1-p)2+0.4p(1-p)=0.4...