9.7圆锥曲线的综合问题挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.定点与定值问题1.了解圆锥曲线的简单应用2.掌握解析几何中求解定点、定值问题的方法和步骤2013天津,18定值问题直线的斜率、向量的运算★★★2.参变量的取值范围与最值问题1.知道圆锥曲线的简单几何性质(如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等),并能用性质解决一些简单的圆锥曲线问题2.理解圆锥曲线离心率的定义,并会求圆锥曲线的离心率2017天津,192016天津,192015天津,19圆锥曲线的几何性质直线方程★★★3.存在性问题1.理解圆锥曲线中存在性问题的基本解法2.理解转化思想在圆锥曲线中的应用2015北京,19圆锥曲线中存在性问题的推理论证直线与椭圆的位置关系★★☆分析解读1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合思想”以及“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为14分,难度偏大.炼技法【方法集训】方法1与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法1.已知椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2❑√3.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.解析(1)由已知,得{2c=2,2a=2❑√3,a2=b2+c2,解得{c=1,a=❑√3,b=❑√2.所以椭圆W的标准方程为x23+y22=1,离心率e=ca=❑√33.(2)连接EO.由题意知EF1⊥EF2,O为F1F2的中点,所以|EO|=12|F1F2|=1.所以E点轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.显然E点在椭圆W的内部.S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12|AC|·|BE|+12|AC|·|DE|=12|AC|·|BD|.当直线l1,l2中一条与x轴垂直时,不妨令l2⊥x轴,此时AC为长轴,BD⊥x轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=±2❑√33,则|BD|=4❑√33,此时S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=4.当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m≠0),A(x1,y1),C(x2,y2).联立{x=my-1,x23+y22=1,消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.所以y1+y2=4m2m2+3,y1y2=-42m2+3,则|AC|=❑√(1+m2)(y1-y2)2=4❑√3(m2+1)2m2+3.同理,|BD|=4❑√3(m2+1)2+3m2.S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=12·4❑√3(m2+1)2m2+3·4❑√3(m2+1)2+3m2=24(m2+1)2(2m2+3)(3m2+2)=24(m4+2m2+1)6m4+13m2+6=4(6m4+12m2+6)6m4+13m2+6=4(1-m26m4+13m2+6)<4.综上,四边形ABCD面积的最大值为4.思路分析(1)由椭圆定义及焦距|F1F2|=2c=2,求得a、b和c的值,即可求得椭圆的方程及离心率.(2)当有一条直线斜率不存在时,有S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=4.当直线斜率存在时,设直线l1的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系及弦长公式求得|AC|,同理求得|BD|,表示出四边形ABCD的面积,即可求得四边形ABCD面积的取值范围,再求最大值.2.过点A(1,0)的直线l与椭圆C:x23+y2=1相交于E,F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1.(1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标;(2)记△AEE1,△AFF1的面积分别为S1,S2.设λ=S1S2,求λ的取值范围.解析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,由{y=x-1,x2+3y2-3=0,得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点为M(x0,y0),则x1+x2=32,则x0=34,y0=x0-1=-14.所以M(34,-14).(2)当直线l与x轴重合时,△AEE1和AFF1不存在.设直线l的方程为x=my+1,由{x=my+1,x2+3y2-3=0,得(m2+3)y2+2my-2=0,显然m∈R.设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2).则y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-2m2+3.因为λ=S1S2=12(3-x1)|y1|·12(3-x2)|y2|=14(2-my1)(2-my2)|y1y2|,所以将y1+y2,y1y2的值代入上式,得S1S2=14[4-2m(y1+y2)+m2y1y2]|y1y2|=2m2+6+2m2-m22(m2+3)·2m2+3=3m2+6(m2+3)2=-3(m2+3)2+3m2+3.因为1m2+3∈(0,13],所以实数λ的取值范围是(0,23].思路分析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,与椭圆方程联立可得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),EF中点M(x0,y0),利用根...
