高考数学一轮复习 专题21 两角和与差的正、余弦和正切公式（含解析）-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

专题21两角和与差的正、余弦和正切公式一、【知识精讲】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).[微点提醒]1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α＝，sin2α＝.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.二、【典例精练】考点一三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：(0<α<π)＝________.【答案】(1)sin(α＋γ)(2)cosα【解析】(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝＝＝.因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cosα.【解法小结】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.考点二三角函数式的求值角度1给角(值)求值【例2－1】(1)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角β满足sin(α＋β)＝，则cosβ的值为________．【答案】－或【解析】由角α的终边过点P，得sinα＝－，cosα＝－.由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.①求cos2α的值；②求tan(α－β)的值.【解析】①因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.角度2给值求角例2-2（1）已知α，β为锐角，cosα＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.(2)若＝·sin2θ，则sin2θ＝()A.B.C.－D.－【答案】（1），（2）－【解析】(1) α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝. α，β∈，∴0<α＋β<π.又 sin(α＋β)，∴cos(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝＝.∴β＝.(2)由题意知＝sin2θ，∴2(cosθ＋sinθ)＝sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，因此sin2θ＝－或sin2θ＝2(舍).【解法小结】1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.考点三三角恒等变换的简单应用例3.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.【解析】(1)f(x)＝cos－2sinxcosx＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)证明由(1)知f(x)＝sin. x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－.∴f(x)≥－成立.【解法小结】1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性...