专题21两角和与差的正、余弦和正切公式一、【知识精讲】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin__αcos__α.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.tan2α=.3.函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·cos(α-φ).[微点提醒]1.tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α=,sin2α=.3.1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,sinα±cosα=sin.二、【典例精练】考点一三角函数式的化简【例1】(1)化简:sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=________.(2)化简:(0<α<π)=________.【答案】(1)sin(α+γ)(2)cosα【解析】(1)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=sin(α+β)cos(β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).(2)原式===.因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cosα.【解法小结】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂与升幂等.考点二三角函数式的求值角度1给角(值)求值【例2-1】(1)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.若角β满足sin(α+β)=,则cosβ的值为________.【答案】-或【解析】由角α的终边过点P,得sinα=-,cosα=-.由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-或cosβ=.(2)(2018·江苏卷)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.①求cos2α的值;②求tan(α-β)的值.【解析】①因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此,cos2α=2cos2α-1=-.②因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-,因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.角度2给值求角例2-2(1)已知α,β为锐角,cosα=,且sin(α+β)=,则角β=________.(2)若=·sin2θ,则sin2θ=()A.B.C.-D.-【答案】(1),(2)-【解析】(1) α为锐角,且cosα=,∴sinα==. α,β∈,∴0<α+β<π.又 sin(α+β),∴cos(α+β)=-.cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×==.∴β=.(2)由题意知=sin2θ,∴2(cosθ+sinθ)=sin2θ,则4(1+sin2θ)=3sin22θ,因此sin2θ=-或sin2θ=2(舍).【解法小结】1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,最后确定角.遵照以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.考点三三角恒等变换的简单应用例3.(2017·北京卷)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sinxcosx=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明由(1)知f(x)=sin. x∈,∴2x+∈,∴当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-.∴f(x)≥-成立.【解法小结】1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性...