课后作业(五十二)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．02．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k＞－B．k＜C．k＞或k＜－D．－＜k＜4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.B．5C.D.6．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若FA＝－4FB，则直线AB的斜率为()A．±B．±C．±D．±二、填空题7．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．8．已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．9．(2013·淮北模拟)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．三、解答题10．(2012·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P(a，a)在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．11．已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，AC＝4AB.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．图8－8－312．(2013·连云港质检)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1.如图8－8－3所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．(1)求m2＋k2的最小值；(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：直线l过定点．解析及答案一、选择题1．【解析】由题意知：＞2，即＜2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2个．【答案】B2．【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．【答案】C3．【解析】由双曲线的几何意义，－＜k＜.【答案】D4．【解析】设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝，当t＝0时，|AB|max＝.【答案】C5．【解析】双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y得，x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝()2－4＝0，＝2，e＝＝＝＝.【答案】D6．【解析】焦点F(1，0)，直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，①y1y2＝－4，②又由FA＝－4FB可得y1＝－4y2，③联立①②③式解得k＝±.【答案】D二、填空题7．【解析】直线y＝kx＋1过定点(0，1)，由题意知，∴m≥1，且m≠5.【答案】m≥1，且m≠58．【解析】设直线l与椭圆相交于A、B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＝－，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.【答案】x＋2y－8＝09．【解析】设直线l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，设l′：y＝－x＋m，由得y2＋2y－2m＝0，由Δ＝4＋8m＝0得m＝－，则两直线距离d＝＝，即|PQ|min＝.【答案】三、解答题10．【解】(1)因为点P(a，a)在椭圆上，故＋＝1，可得＝.于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.①由|AQ|＝|AO|，A(－a，0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，故x0＝.代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.11．【解】(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴又 AC＝4AB，∴y2＝4y1，③由①②③...
