第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题1.已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于()A.B．－C.D．－解析由cos2α＝cos得(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝(cosα＋sinα)由α为锐角知cosα＋sinα≠0.∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝.∴sin2α＝.答案A2．若＝，则tan2α等于()．A.B．－C.D．－解析＝＝＝，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝＝－，故选D.答案D3．已知α，β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β＝()．A.B.C.和D．－和－解析由α，β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝.答案A4．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为()．A.B．－C.D．－解析∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ2)的两根为tanA，tanB，且A，B∈，则A＋B＝________.解析由题意知tanA＋tanB＝－3a<－6，tanA·tanB＝3a＋1>7，∴tanA<0，tanB<0，tan(A＋B)＝＝＝1.∵A，B∈，∴A，B∈，∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－.答案－三、解答题11．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解(1)f(x)＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2x·sin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.12．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.又2α∈，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈，β－∈，sin＝，∴cos＝，于是sin2＝2sincos＝.又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－，又2β∈，∴sin2β＝，又cos2α＝＝，α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.13．函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．解(1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋sinωx＝2sin，又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2sin＝，即sin＝.由x0∈，知＋∈，所以cos＝＝.故f(x0＋1)＝2sin＝2sin＝2＝2×＝.14．(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)已知cosα＝－，α∈，tanβ＝－，β∈，求cos(α＋β)．解(1)证明①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)．∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.②由①易得，cos＝sinα，sin＝cosα.sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos(－β)－sinsin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)∵α∈，cosα＝－，∴sinα＝－.∵β∈，tanβ＝－，∴cosβ＝－，sinβ＝.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
