导数的综合应用一、选择题1.已知函数f(x)=x2+mx+lnx是单调递增函数,则m的取值范围是(B)(A)m>-2(B)m≥-2(C)m<2(D)m≤2解析:函数定义域为(0,+∞),又f'(x)=2x+m+.依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≥-恒成立,设g(x)=-,则g(x)=-≤-2,当且仅当x=时等号成立.故m≥-2,故选B.2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(A)(A){x|x>0}(B){x|x<0}(C){x|x<-1或x>1}(D){x|x<-1或0ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.故选A.3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为(A)解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是(B)(A)(B)(C)(-1,0)(D)(-∞,-1)解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)0,故函数f(x)在(1,2]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.故选A.二、填空题6.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为.解析:由y'=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于040时,y'>0.所以当x=40时,y有最小值.答案:407.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是.解析:方程可化为a=x3-3x2,设f(x)=x3-3x2,则f'(x)=3x2-6x,由f'(x)>0,得x>2或x<0;由f'(x)<0,得00,解得a>2或a<-1.答案:a>2或a<-1三、解答题9.(2013银川模拟)设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,①求实数a,b的值;②求函数f(x)在上的最大值.(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,求实数m的取值范围.解:(1)①f'(x)=-2bx,∵函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,∴解得②f(x)=lnx-x2,f'(x)=-x=,当≤x≤e时,令f'(x)>0得≤x<1;令f'(x)<0,得10,∴h(a)在a∈上单调递增,∴h(a)min=h(0)=-x,∴m≤-x对所有的x∈(1,e2]都成立.∵1ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.(1)解:∵f'(x)=ex-2,由f'(x)<0可得,x0可得x>ln2,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln2),单调递增区间为(ln2,+∞).当x=ln2时,有极小值f(ln2)=2(1-ln2+a).(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2-1时,g'(x)的最小值为g'(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
