等比数列一、选择题1.{an},{bn}是项数相同的等比数列,则下列数列中:①{an+bn};②{an·bn};③{c+an}(c≠0);④{c·an·bn}(c≠0);⑤中,等比数列有(B)(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:若{an},{bn}为等比数列,则{an·bn},{c·an·bn},均为等比数列.故选B.2.(2013杭州师大附中)已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为(C)(A)±(B)-(C)(D)-解析:∵a1a13=,a2a12=,∴=,∴tan(a2a12)=tan=tan=,故选C.3.(2013温州市八校联考)已知等比数列{an}满足an>0(n∈N*),且a5a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1等于(B)(A)(n+1)2(B)n2(C)n(2n-1)(D)(n-1)2解析:由等比数列的性质可知a5a2n-5=,又a5a2n-5=22n,所以an=2n.又log2a2n-1=log222n-1=2n-1,所以log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)==n2,故选B.4.(2013年高考北京卷)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是(B)(A)a1+a3≥2a2(B)+≥2(C)若a1=a3,则a1=a2(D)若a3>a1,则a4>a2解析:选项A,若a1+a1q2≥2a1q,即a1q2-2a1q+a1≥0,a1(q2-2q+1)≥0,a1(q-1)2≥0,因a1无法判断正负,故选项A错.选项B,+(a1q2)2≥2(a1q)2,即+q4≥2q2,(q4-2q2+1)≥0(q2-1)2≥0,因>0,(q2-1)2≥0恒成立,故选项B正确.选项C,若a1=a3,则q2=1,则q=1或q=-1,故选项C错.选项D,若a3>a1,则a1·q2>a1,a1(q2-1)>0,若a4>a2,即a2q2>a2,则a2(q2-1)>0,即a1·q(q2-1)>0,因q无法判断正负,故选项D错.故选B.5.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数n为(D)(A)12(B)14(C)15(D)16解析:=q4=2,由a1+a2+a3+a4=1,得a1(1+q+q2+q3)=1,即a1·=1,∴a1=q-1,又Sn=15,即=15,∴qn=16,又∵q4=2,∴n=16.故选D.6.函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该数列的公比的数是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题可知数列各项均为正数,不妨设等比数列为递增数列,则首项的最小值为半圆(x-5)2+y2=16(y≥0)上的点到原点的最小距离,易知最小距离为圆心到原点的距离减半径,即(a1)min=5-4=1,同理第三项的最大值为(a3)max=5+4=9,故等比数列的公比最大满足==9,所以qmax=3<,因此只有B项不满足条件.故选B.二、填空题7.若等比数列{an}满足a2a4=,则a1a5=.解析:由等比数列的性质可得=a2a4=a1a5,所以a1a5=(a2a4)2=.答案:8.(2013贵州省遵义四中月考)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6=.解析:在等差数列{an}中,由S9=-36,S13=-104得,即解得a1=4,d=-2.所以a5=a1+4d=-4,a7=a1+6d=-8,所以b5=-4,b7=-8,在等比数列{bn}中,=b5b7=32,所以b6=±=±4.答案:±49.(2013北京市海淀区高三上学期期末)数列{an}满足a1=2且对任意的m,n∈N*,都有=an,则a3=;{an}的前n项和Sn=.解析:∵=an,∴an+m=an·am,∴a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=23=8;令m=1,则有an+1=an·a1=2an,∴数列{an}是首项为a1=2,公比q=2的等比数列,∴Sn==2n+1-2.答案:82n+1-2三、解答题10.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求此数列的通项公式.解:设数列{an}的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶,由题意知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.∵数列{an}的项数为偶数,∴q==.又∵a1·a1q·a1q2=64,∴·q3=64,即a1=12.故所求通项公式为an=12·.11.(2013安徽六校联考)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N*.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1),an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,∴当t=1时,a2=4a1,数列{an}是等比数列.(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=+.12.(2013南昌模拟)等差数列{an}中,公差d≠0,已知数列,,,…,,…是等比数列,其中k1=1,k2=7,k3=25.(1)求数列{kn}的通项公式;(2)若a1=9,设bn=+,Sn=+++…+,Tn=+++…+.试判断数列{Sn+Tn}的前100项中有多少项是能被4整除的整数.解:(1)由题意,可得=·,即=a1·a25,(a1+6d)2=a1·(a1+24d),所以36d2=12a1d,即3d2=a1d.又因为公差d≠0,所以a1=3d,所以an=(n+2)d,所以等比数列,,,…,,…的公比是q===3,所以=(kn+2)d=3d·3n-1,即kn=3n-2.(2)由a1=9得d=3,则=3n+1,所以bn=,则+=-2=-2=2×3n-2,所以Sn+Tn=2×-2n=3(3n-1)-2n.当n为偶数时,3n-1=(8+1-1=+…+·8能被4整除,2n也能被4整除,所以Sn+Tn能被4整除.当n为奇数时,Sn+Tn=3n+1-1-2(n+1),3n+1-1=(8+1-1=+…+·8能被4整除,2(n+1)也能被4整除,所以Sn+Tn能被4整除,所以数列{Sn+Tn}的前100项中有100项是能被4整除的整数.
