等差数列一、选择题1.(2013年高考重庆卷)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5等于(B)(A)7(B)15(C)20(D)25解析:∵{an}是等差数列,∴⇒∴S5=5a1+d=5×(-1)+10×2=15,故选B.2.(2013年高考福建卷)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5,又∵a4=7,∴d=2,故选B.3.(2013天津市新华中学月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则的值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由S5=3(a2+a8)得,=3×2a5,即5a3=6a5,所以=,故选D.4.(2013金华一中月考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由等差数列的性质可知,S5=5a3,a2+a8=2a5,因为S5=3(a2+a8),所以5a3=3×2a5,=,故选A.5.(2013厦门市高三上学期期末质量检查)在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5·a6的最大值等于(C)(A)3(B)6(C)9(D)36解析:∵a1+a2+…+a10=30,即=30,a1+a10=6,∴a5+a6=6,∴a5·a6≤=9,故选C.6.(2013北京海淀)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:∵an+1-an=-3(n∈N*),∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有∴∴≤k≤,∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的n的值为7.故选B.二、填空题7.(2013西安八校联考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米.解析:设树苗放在第i个树坑旁边(如图),那么各个树坑到第i个树坑距离的和是s=(i-1)×10+(i-2)×10+…+(i-i)×10+[(i+1)-i]×10+…+(20-i)×10=10×[i×i--i×(20-i)+]=10(i2-21i+210),所以当i=10或11时,s的值最小,最小值是1000,所以往返路程的最小值是2013米.答案:20138.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10=.解析:由=+知,数列为等差数列,则=1+(n-1),即an=.∴a10==.答案:9.(2013烟台高三质检)由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=.解析:由==,∴取n=3,则有==.答案:三、解答题10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+a4=14,S7=70.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,则数列{bn}的最小项是第几项?并求出该项的值.解:(1)设公差为d,则有即解得所以an=3n-2.(2)数列{bn}的最小项是第4项,Sn=[1+(3n-2)]=,所以bn==3n+-1≥2-1=23.当且仅当3n=,即n=4时取等号,故数列{bn}的最小项是第4项,该项的值为23.11.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4(n∈N*).(1)求证:数列{an}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2Sn-1=+n-5,又2Sn=+n-4,两式相减得2an=-+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1.而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.12.(2013南充市第一次适应性考试)设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是和an的等差中项.(1)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)证明:++…+<2.(1)解:由已知,2Sn=+an,且an>0.当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.当n≥2时,有2Sn-1=+an-1.于是2Sn-2Sn-1=-+an-an-1,即2an=-+an-an-1,于是-=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.(2)证明:因为an=n,则Sn=,==2.所以++…+=2++…+=2<2.
