1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足A＋C＝2B，且cos(B＋C)＝－.(1)求cosC的值；(2)若a＝5，求△ABC的面积．解：(1)∵A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，∴B＝.∵cos(B＋C)＝－，∴sin(B＋C)＝＝，∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB＝－×＋×＝.(2)由(1)可得sinC＝＝，sinA＝sin(B＋C)＝.在△ABC中，由正弦定理＝＝，得c＝＝8.S△ABC＝acsinB＝×5×8×＝10.2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝(n∈N*)，求证cn＋1＜cn≤.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，①得an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝3an，∴an＝3n－1.∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3n－6.(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，∴cn＝＝，∴cn＋1－cn＝＜0，cn＋1＜cn＜…＜c1＝，∴cn＋1＜cn≤.3．某社区为丰富居民的业余文化生活，准备举行一次趣味运动会．在“射击气球”这项比赛中，制定的比赛规则如下：每人只能参加一场比赛，每场比赛中选手依次射击编号为①②③④⑤的5个气球；在这5次射击中，若④⑤号气球都被击中，且①②③号气球至少有1个被击中，则此人获奖；否则不获奖．已知甲每次射击击中气球的概率都为，且各次射击结果互不影响．(1)求甲在比赛中获奖的概率；(2)设甲在5次射击中击中气球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)记甲在5次射击中，击中k次获奖的事件为Ak，k＝3,4,5.∵A3，A4，A5互斥，∴甲获奖的概率P＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)．∵P(A3)＝C××2×＝，P(A4)＝C×2××＝，P(A5)＝C×3×＝，∴甲在比赛中获奖的概率P＝＋＋＝.(2)随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,4,5.∵P(ξ＝0)＝5＝，P(ξ＝1)＝C××4＝，P(ξ＝2)＝C×2×3＝，P(ξ＝3)＝C×3×2＝，P(ξ＝4)＝C×4×＝，P(ξ＝5)＝5＝.∴ξ的分布列为ξ012345PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.4.如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．(1)求证：AC⊥DE；(2)已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.(2)连接EO，在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD.分别以OA，OB，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t(t>0)，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)．由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的一个法向量为n2＝(x，y，z)，且＝(－1,，0)，＝(－1，－，t)，则根据得令y＝1，得平面PAB的一个法向量为n2＝.∵二面角APBD的余弦值为，∴|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得t＝2或t＝－2(舍去)，∴P(0，－，2)．设EC与平面PAB所成的角为θ，∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，∴sinθ＝|cos〈，n2〉|＝＝，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.
