[数学思想(一)]一、选择题1.(2013·青岛模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则数列{an}的公比为()A.B.C.D.解析:选B设等比数列的首项为a1,公比为q,则S1=a1,S2=a1+a2=a1+a1q,S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.由S1,2S2,3S3成等差数列,得2×2S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),可得3q2-q=0,得q=0或q=,因为q≠0,所以q=.2.若a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是()A.(1,)B.(,)C.[,]D.(,)解析:选Be2=2==1+2,因为是减函数,所以当a>1时,0<<1,所以20恒成立,则x的取值范围为()A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)解析:选C把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),则f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,易知只需f(-1)=x2-5x+6>0且f(1)=x2-3x+2>0即可,联立方程并解得x<1或x>3.4.若2x+5y≤2-y+5-x,则有()A.x+y≥0B.x+y≤0C.x-y≤0D.x-y≥0解析:选B原不等式可化为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,所以有x≤-y,即x+y≤0.5.如图,A是单位圆与x轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),=+,四边形OAQP的面积为S,当·+S取得最大值时θ的值为()A.B.C.D.解析:选B·+S=||·||cosθ+||·||sinθ=cosθ+sinθ=sin,当θ=时,·+S取得最大值.6.(2013·西安模拟)已知函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列,则实数m的值为()A.B.-C.D.-解析:选D假设方程f(x)=m的两个实根x3-(2n+1).而-(2n+1)≤-3,所以λ>-3.答案:(-3,+∞)9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是________.解析:设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)为奇函数.又当x<0时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以x<0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x>0时,F(x)也是增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).所以F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3)(如图).答案:(-∞,-3)∪(0,3)三、解答题10.(2013·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S7=70,且a1,a2,a6成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值.解:(1)设公差为d,则有即解得或(舍去),所以an=3n-2.(2)Sn=[1+(3n-2)]=,所以bn==3n+-1≥2-1=23,当且仅当3n=,即n=4时取等号,故数列{bn}的最小项是第4项,该项的值为23.11.(2013·海淀模拟)如图,曲线M:y2=x与曲线N:(x-4)2+2y2=m2(m>0)相交于A,B,C,D四个点.(1)求m的取值范围;(2)求四边形ABCD的面积的最大值及此时对角线AC与BD的交点坐标.解:(1)联立曲线M,N的方程,消去y可得(x-4)2+2x-m2=0,即x2-6x+16-m2=0,根据条件可得解得x1,y1>0,y2>0.则SABCD=(y1+y2)(x2-x1)=(+)(x2-x1)=·=·.令t=,则t∈(0,3),SABCD...