一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析双曲线焦点位于x轴，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，而e＝＝，即＝＝，得＝，故渐近线方程为y＝±x，即选C.答案C2．若不论k取何值，直线y＝k(x－2)＋m与双曲线x2－y2＝1总有公共点，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．[－，]C．[－2,2]D．[－，]解析直线过点M(2，m)，不妨设直线x＝2与双曲线相交于A，B两点，且A(2，－)，B(2，)．结合图象可知，当且仅当点M在线段AB上时，不论k取何值，直线与双曲线总有公共点，所以－≤m≤.故选B.答案B3．(2013·全国大纲卷)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.解析A1(－2,0)，A2(2,0)，上顶点B1(0，)，若P位于B1处，kPA2＝－>－1，由图象分析P位于第一象限，设P(x0，y0)，则y0＝，因此kPA2＝－，由kPA2∈[－2，－1]得∈，从而kPA1＝∈，故选B.答案B4．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则|AB|·|CD|的值正确的是()A．等于1B．最小值是1C．等于4D．最大值是4解析设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线定义|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝.而y1y2＝－4，代入上式，得|AB|·|CD|＝1，故选A.答案A5．在周长为16的△PMN中，|MN|＝6，则PM·PN的取值范围是()A．[7，＋∞)B．(0,16)C．(7,16]D．[7,16)解析以MN所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由于|PN|＋|PM|＝10>|MN|＝6，故点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆(去左、右顶点)，其方程为＋＝1(y≠0)，故PM·PN＝(3－x，－y)·(－3－x，－y)＝x2＋y2－9，将y2＝16代入整理得：PM·PN＝＋7，而0≤<1(由于是三角形，因此M，N，P三点不共线)，故7≤PM·PN<16.故选D.答案D6．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1)B.C.D.解析特殊情况a＝1时，直线为y＝x＋b与x轴交于(－b,0)，与直线BC：x＋y＝1交于，结合图形可知×(1＋b)＝，解得b＝－1；<－1<，排除C.考虑到极限位置，即a＝0时，y＝b与y轴交于(0，b)得(1－b)2＝，即b＝1－，故选B.答案B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知点M与双曲线－＝1的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M的轨迹方程为________．解析由题意得a2＝16，b2＝9，c2＝16＋9＝25.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．设M(x，y)，有＝，即＝.整理即可得解．答案x2＋y2＋26x＋25＝08．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)，到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.解析根据抛物线的性质得1＋＝5，∴p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1.故a＝.答案9．(2013·浙江卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．解析设直线l的方程为x＝ty－1，联立得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，所以yQ＝2t，将yQ代入x＝ty－1得xQ＝2t2－1，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4，代入得t＝0(舍)或t＝±1，所以直线的斜率为±1.答案±1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·安徽卷)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．解(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，F1(－c...
