考点过关检测（四十）1．(2019·岳阳高三二检)已知f(x)＝|2x－3|＋ax－6(a是常数)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－3|＋x－6＝则原不等式等价于或解得x≥3或x≤－3，故原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－3}．(2)由f(x)＝0，得|2x－3|＝－ax＋6.令y＝|2x－3|，y＝－ax＋6，作出它们的图象，如图．显然，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数y＝f(x)恰有两个不同的零点时，a的取值范围是(－2,2)．2．已知函数f(x)＝|x－a|－2.(1)若a＝1，求不等式f(x)＋|2x－3|＞0的解集；(2)关于x的不等式f(x)＞|x－3|有解，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|x－1|＋|2x－3|＞2.当x≥时，3x－4＞2，解得x＞2；当1＜x＜时，2－x＞2，无解；当x≤1时，4－3x＞2，解得x＜.∴原不等式的解集为.(2)f(x)＞|x－3|⇔|x－a|－|x－3|＞2.令g(x)＝|x－a|－|x－3|，依题意知，g(x)max＞2.∵g(x)＝|x－a|－|x－3|≤|(x－a)－(x－3)|＝|a－3|，∴g(x)max＝|a－3|，∴|a－3|＞2，解得a＞5或a＜1，∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞)．3．已知f(x)＝|2x－1|－|x＋2|，g(x)＝|x－a|－|x＋a＋1|.(1)解不等式f(x)＞4；(2)若∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x2)＝g(x1)，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝若f(x)>4，则当x<－2时，由－x＋3>4，解得x<－2；当－2≤x≤时，由－3x－1>4，解得－2≤x<－；当x>时，由x－3>4，解得x>7.综上，不等式f(x)>4的解集为.(2)因为∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x2)＝g(x1)，所以g(x)的值域是f(x)值域的子集．由(1)易知f(x)的值域为.因为g(x)＝|x－a|－|x＋a＋1|的值域为[－|2a＋1|，|2a＋1|]，所以－|2a＋1|≥－，即|2a＋1|≤，则－≤2a＋1≤，－≤a≤，即实数a的取值范围为.4．已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－20，∴≥0，∴t2＋1≥＋3t.
