余角、补角、对顶角【本讲教育信息】一.教学内容：余角、补角、对顶角本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力并要求能解决一些实际问题。［目标］1.在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。2.知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。二.重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。三.知识要点1.余角、补角。（1）如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。（2）如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。说明：①互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。②“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角.如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。如果三个角的和是180°，我们不能说这三个角互为补角2.对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。如：两条直线相交形成∠1，∠2，∠3，∠4四个角，如图：∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角。（2）定理：对顶角相等。【典型例题】例1.如图，直线m和l交于O点，已知∠1的余角与它的补角的比为1：3，求∠2的度数。分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设∠1为x°），求出∠1的度数，而∠1和∠2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出∠2的度数。解：设∠1的度数为x°，则它的余角为(90－x)°，它的补角为(180－x)°，根据题意：（90－x）：（180－x）＝1：3解之得x＝45又因为∠1和∠2是对顶角，所以∠1＝∠2（对顶角相等）答：这个角的度数为45°。例2.若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角分析：在计算过程中，将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便。而将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角。解：35°35′35″的余角为90°－35°35′35″＝54°24′25″35°35′35″的补角为180°－35°35′35″＝144°24′25″例3.有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个角互余；若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的度数。分析：我们可以设第一个角为α，第二个角为β，依照题意列出方程组求解。解：设第一个角为α，第二个角为β，据题意，得解之，得所以这两个角分别是90°和30°说明：根据题中条件，设出未知数、列出方程或方程组求解是常用方法。例4.一个角的余角比这个角的补角的还大26°，求这个角的余角及这个角的补角。分析1：可直接设未知数，用一元一次方程求解。解法1：设这个角的余角为α，则这个角的补角为，由题意，得：答：这个角的余角为55°，补角为145°。分析2：可间接设未知数，列一元一次方程求解。解法2：设这个角为α，其余角为，其补角为由题意得：答：这个角的余角为55°，补角为145°。例5.如图所示，AB、CD相交于点O，，试比较的大小。分析：相等，我们只需借助于对顶角和这个桥梁，就很容易比较出是相等的。解：例6.已知：如图所示，直线AB、CD相交于O，已知，OE把分为两部分，且，求。分析：可设为，为，则，即而为对顶角相等，所以，，而所以解：设例7.已知，直线上有一点O，过O点作两条射线，使分别在的两侧，。试说明与是对顶角。解：如图： 点O在直线AB上，∴。又，∴，∴三点在一条直线上。∴与是对顶角。分析：本题考查对顶角的定义及性质，说明两个角是对顶角应抓住三点：（1）有公共顶点；（2）两角相等；（3）以两条直线相交为前提。例8.判断下列说法是否正确，并说明理由：（l）有公共顶点的两个角是对顶角；（2）相等的两个角是对顶角；（3）互为对顶角的两个角的余角相等。解：（1）不正确，对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一个角的两...
