17.2直角三角形知识点1直角三角形的定义、表示及性质定理★定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形．★表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图17–2–1所示的直角三角形可以表示为“Rt△ABC”．★性质定理：直角三角形的两个锐角互余．例1已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A－∠B=20°，求∠A，∠B的度数．图17–2–1分析：根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，与已知条件∠A－∠B=20°联立成方程组解方程组即可．解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)．又∵∠A－∠B=20°，∴∴∠A=55°，∠B=35°．故∠A，∠B的度数分别为55°和35°．知识点2直角三角形的判定定理(重点)★判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．拓展：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．前面我们学习了用直角三角形的定义判定，即有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，要根据具体题目灵活选用．例2如图17–2–2所示，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且使AF=AB，过点A作AH⊥AC，且使AH=AC．求证：△BDE是直角三角形．图17–2–2分析：要说明△BDE是直角三角形，可证∠1+∠2=90°，故只需证∠1=∠4，由△AFC≌△ABH可得．证明：∵AF⊥AB，AH⊥AC，∴∠FAB=∠HAC=90°(垂直的定义)．∴∠FAB+∠BAC=∠HAC+∠BAC，即∠FAC=∠BAH．又AF=AB，AC=AH，∴△AFC≌△ABH(SAS)．∴∠4=∠1(全等三角形的对应角相等)．又∠2=∠3，∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．∴△BDE是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．点拨利用全等三角形对应角相等是说明两个角相等的一个重要方法．知识点3直角三角形的性质(重难点)★性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．★在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．拓展：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．例3在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且∠A：∠B：∠C=1：2：3，试确定a与c的关系．分析：由三角形的内角和为180°，∠A：∠B：∠C=1：2：3，得出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，最短的直角边为a，根据在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半得斜边c=2a．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a(或a=)．点拨依据三角形内角和定理及三个角之间的关系，求出特殊角(30°或60°)是解决此类题的关键．
