教学课题§17．2一元二次方程根的判别式（一）课时2教学目标1．能正确说出一元二次方程根的判别式定理2．会根据根的判别式，不解方程，判断数字系数的一元二次方程根的情况3．会根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围能力目标：培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力，并进一步提高学生计算能力教学重点：一元二次方程根的判别式的应用教学难点：根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围教学方法：启发引导、讲练结合教学过程：（一）复习引入1．一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式是什么？ax2＋bx＋c=0(a≠0);x=[来源:学科网ZXXK]2．用公式法解下列一元二次方程：(1)3x2－4x－2=0(2)x2－2x＋2=0(3)x(x＋1)=-2引导学生观察一元二次方程根的情况有几种？分别是怎样的？通过这组练习，我们发现一元二次方程根的情况有3种。即有两个不等实根，有两个相等实根，无实根。为什么会有这三种情况呢？方程的根的情况是由求根公式中哪一部分条件决定的？能不能不解方程就判别根的情况呢？（二）讲授新课1．讲解根的判别式的定义、符号我们知道，任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)用配方法可将其变形为(x＋)2= a≠0∴4a2＞0，∴b2－4ac的符号直接影响着方程的根的情况。（1）当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数，故方程有两个不相等的实数根。x1=,x2=,（2）当b2－4ac=0时，方程右边是0，显然有两个相等的实数根。x1=x2=（3）当b2－4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程左边的(x＋)2不可能是一个负数，因此方程也就没有实数根。由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示。即△=b2－4ac2．讲解一元二次方程根的判别式定理一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的情况是：①当△＞0时，有两个不相等的实数根。②当△=0时，有两个相等的实数根。③当△＜0时，没有实数根④当△0时，方程有实数根。反过来也成立。3．例题分析例1．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）2x2＋3x－4=0（2）16y2＋9=24y（3）5(x2＋1)－7x=0解：（1） △=b2－4ac=32－4×2×(-4)=9+32=41＞0∴原方程有两个不相等的实数根。（2）原方程可变形为16y2－24y＋9=0 △=b2－4ac=（-24）2－4×16×9=576－576=0∴原方程有两个相等的实数根。(3)原方程可变形为5x2－7x＋5=0 △=b2－4ac=(-7)2－4×5×5=49－100＜0∴原方程没有实数根。小结：①将方程化为一元二次方程的一般形式，正确找出a、b、c②只需判断△值的符号，而不必算出具体数值③根的判别式可以判断一元二次方程根的情况例2.已知：关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1=0当k取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根解：△=[-(4k＋1)]2－4×2(2k2－1)=16k2＋8k＋1－16k2＋8=8k＋9（1） 方程有两个不相等的实数根∴△＞0即8k＋9＞0∴k＞∴当k＞时，方程有两个不相等的实数根（2） 方程有两个相等的实数根∴△=0即8k＋9=0∴k=[来源:Zxxk.Com]∴当k=时，方程有两个相等的实数根（3） 方程没有实数根∴△＜0即8k＋9＜0∴k＜∴当k＜时，方程没有实数根小结：给出了方程的根的情况的结论,求a、b、c中所含字母的取值或取值范围的方法是：计算△由方程根的情况转化为解△＞0，△=0，△＜0求出待定系数的取值范围思考：假设二次项系数不是2，而是k还需要考虑什么呢？如何解答呢？(三)巩固练习（1）不解方程，判别下列方程根的情况1)2x2＋x－11=02)3x2－2x＋2=03)3x－2x2－18=04)x2－2mx＋4(m－1)=0(m为常数)（2）a取什么值时，关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－2=0①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？（3）m取什么值时，关于x的方程(m＋2)x2＋2x－1=0有两个不相等的实数根？[来源:学#科#网Z#X#X#K]（四）小结：（1）根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况（2）只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式，所以使用时应注意二次项系数不为0这个条件[来源:学科网ZXXK]（五）作业：判断方程kx2－4x＋4=0的根的情况[来源:...
