规范练(三)解析几何问题1．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．(1)解设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1，∴x2＝8y.∴E的方程为x2＝8y.(2)证明设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16，∴b＝4，所以直线AB恒过定点(0,4)．2．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．解(1)依题意有又因为a2＝b2＋c2，所以.故椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线AC：y＝k1x，直线BD：y＝k2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)．联立，得方程(2k＋1)x2－2＝0，x＝x＝，故OA＝OC＝·.同理，OB＝OD＝·.又因为AC⊥BD，所以OB＝OD＝·，其中k1≠0.从而菱形ABCD的面积S＝2OA·OB＝2···，整理得S＝4，其中k1≠0.故当k1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为.3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝2PB.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，由根与系数的关系知又AP＝2PB，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．∴－x1＝2x2，∴∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝＞0，得＜m2＜4，此时Δ＞0.∴m的取值范围为∪.4．已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程；(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．解(1)由题知CA＋CB＝CP＋CQ＋AP＋BQ＝2CP＋AB＝4＞AB，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)，设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－2＝3，所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．(2)注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，设lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1,2＝，所以因为AC＝(my1＋2，y1)，AD＝(my2＋2，y2)，所以AC·AD＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－－＋4＝.注意到点A在以CD为直径的圆上，所以AC·AD＝0，即m＝±，所以直线BC的方程3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0为所求．
