规范练(四)实际应用问题1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为(万元)．则＝＋－48≥2－48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8000＝－＋88x－8000＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．2．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解(1)由题意可得：L＝因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2，解得k＝18.(2)当0＜x＜6时，L＝2x＋＋2，所以L＝2(x－8)＋＋18＝－[2(8－x)＋]＋18≤－2＋18＝6.当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．当x≥6时，L＝11－x≤5.所以当x＝5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．3．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？解(1)当0500时，f(x)＝0.05×500－×5002－＝12－x，故f(x)＝(2)当0500时，f(x)＝12－x<12－＝<.故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．4．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；(2)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．解(1)设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.当0<θ<时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，S＝AB×AD＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．≤当θ<时(如图2)，AB＝2×4cosθ，AD＝2×4sinθ，故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为S＝(2)当0<θ<时，求导得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]＝16(4cos2θ＋cosθ－2)．令S′＝0，得cosθ＝.记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)．列表：θ(0，θ0)θ0S′＋0－S增函数极大值减函数≤又当θ<时，S＝32sin2θ在上单调递减，所以当θ＝θ0即cosθ＝时，矩形的面积最大．
