第4讲平面向量应用举例分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()．A．1B．－1C.D.解析由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案A2．(·九江模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是()．A.B.C．2D.解析a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝.答案B3.(·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝()．A．4B．6C．1D．2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.答案B4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则AE·AF＝()．A.B.C.D.解析法一依题意，不妨设BE＝EC，BF＝2FC，则有AE－AB＝(AC－AE)，即AE＝AB＋AC；AF－AB＝2(AC－AF)，即AF＝AB＋AC.所以AE·AF＝·＝(2AB＋AC)·(AB＋2AC)＝(2AB2＋2AC2＋5AB·AC)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.法二由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，∴AE·AF＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析AE·BD＝·(BA＋BC)＝(AD＋DC)·(AD－DC)＝AD2－DC·AD－DC2＝1－×1×2cos60°－×4＝－.答案－6．(·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则BA·AC＝________.解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，BA·AC＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案－1三、解答题(共25分)7．(12分)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解设M(x0，y0)、N(x，y)．由MA＝2AN，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴ 点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.8．(13分)(·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解(1) AB·AC＝cbcosA，BA·BC＝cacosB，又AB·AC＝BA·BC，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0， －π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，AB·AC＝bccosA＝bc·＝＝k， c＝，∴k＝1.分层B级创新能力提升1．(·安庆二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，则cosB＝()．A．－B.C.D．－解析由4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，得4aBC＋3cAB＝－2bCA＝－2b(BA－BC)＝2bAB＋2bBC，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案A2．(·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，则CA在CB方向上的投影为()．A．1B．2C.D．3解析如图，由题意可设D为BC的中点，由OA＋AB＋AC＝0，得OA＋2AD＝0，即AO＝2AD，∴A，O，D共线且|AO|＝2|AD|，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴|AC|＝|AB|＝|OA|＝2，|AD|＝1，∴|CD|＝，∴CA在CB方向上的投影为.答案C3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．答案64．(·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a...
