第4讲基本不等式分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为()．①y＝x＋；②y＝sinx＋(01)的最小值是()．A．2＋2B．2－2C．2D．2解析 x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·黄冈二模)若a，b是正数，则，，，这四个数的大小顺序是________．解析 a，b是正数，∴≤≤，≤而，又a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≤.≤≤≤故.答案≤≤≤6．(·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0≤，故18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案58三、解答题(共25分)7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解 x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10≥＋＋10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解(1) x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2) x>0，y>0，∴＋＝·≥＝＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.分层B级创新能力提升1．(·韶关一模)当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为()．A．3B．5C．1D．7解析由x＋3y－2＝0得3y＝－x＋2，∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1＝3x＋＋1≥2＋1＝7.当且仅当3x＝，即x＝1时取得等号．答案D2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()．A．(∞－，－2]∪[4∞，＋)B．(∞－，－4]∪[2∞，＋)C．(－2,4)D．(－4,2)解析 x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－40)．(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)
