第8讲立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.答案A2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为()．A．30°B．120°C．60°D．90°解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1，由已知条件，得G，B，E，F，GB＝，EF＝cos〈GB，EF〉＝＝0，则GB⊥EF.答案D3．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()．A.B.C.D.解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B4．(·杭州月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()．A.B.C.D.解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝，答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．解析cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记为θ，即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.答案.6．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成角为60°.答案60°三、解答题(共25分)7．(12分)如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．解如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．(1) AB＝(0,0，－4)，EF＝(－2,2,2)，∴|cos〈AB，EF〉|＝＝，∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，则 AC＝(4,0，－4)，CD＝(－4,4,0)，∴∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1)． F∈平面ACD，EF＝(－2,2,2)，∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，EF〉|＝＝.8．(13分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小．(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，∴AP＝(0,0,3)，AC＝(2，6,0)，BD＝(－2，2,0)．∴BD·AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.又 PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BD＝0，n·BP＝0. BP＝(－2，0,3)，∴解得令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.∴二面角PBDA的大小为60°.分层B级创新能力提升1．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角ABCD的大小为()．A.B.C.D.解析二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.AD＝AB＋BC＋CD.而AD2＝AB2＋CD2＋BC2－2|AB|·|CD|·cos〈AB，CD〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈AB，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.故选B.答案B2．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是()．A.B.C.D.解析由题设可知，以DA、DC、DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1...
