高三联单数学高考轨迹题精选VIP免费

高考数学轨迹题精选［例1］如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.分析：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2－4x－10=0,得244)2()24(22xyx－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.分析：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系.解：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OM⊥AB，得k=－yx由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0所以x1x2=22kb,消x,得ky2－4py+4pb=0所以y1y2=kpb4，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2所以kpk4=－22kb,b=－4kp故y=kx+b=k(x－4p),用k=－yx代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)用心爱心专心故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？分析：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622yx=1①同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x－21)2+34y2=1②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(QP，∴r=73)1412()149(2322故所求圆柱的直径为76cm.［例4］如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？.解：(1)如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？解：设点M(x，y)， 圆x2+y2=16的参数方程为x=4cosθy=4sinθ，∴设点P(4cosθ，4sinθ)，由线段中点坐标公式得4cosθ+12x=24sinθy=2，用心爱心专心xyOPθxyOPθ即点M轨迹的参数方程为x=2cosθ+6y=2sinθ，即点M的轨迹方程为(x－6)2+y2=4，∴点M的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆．思考：这个问题不用参数方程怎么解？(相关点法)又解：设M(x，y)，P(x0，y0)， 点M是线段PA的中点，∴00x+12x=2yy=2，∴00x=2x12y=2y， 点P(x0，y0)在圆上，∴x02+y02=16，∴(2x－12)2+(2y)2=16，即点M的轨迹方程为(x－6)2+y2=4，∴点M的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆．［例5］已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y＝x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；（3）设直线y＝mx＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0． 该直线与圆1)2(22yx相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为xy．设双曲线C的方程为12222ayax， 双曲线C的一个焦点为)0,2(，∴1,2222aa．∴双曲线C的方程为122yx．（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|＝|OF1|...