指数函数应用要览一、求解不等式问题例1已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是_____．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441aaa≥，∴函数2(25)xyaa在()，上是增函数．∴由31xx，解得14x．故x的取值范围是14xx．点评：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都变成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．二、证明单调性问题例2已知函数1010()1010xxxxfx，试证明函数()fx是定义域内的增函数．分析：证明函数的单调性可用定义证明，也可用复合函数的单调性判断法则来考虑．证明：由已知可得函数()fx的定义域是R，并且22210101012()11010101101xxxxxxxfx，设12xxR，，且12xx，则21212221222(1010)()()(101)(101)xxxxfxfx，∵10xy是R上的增函数，∴当12xx时，212210100xx．又∵2122(101)0(101)0xx，，∴21()()0fxfx，即21()()fxfx．∴函数()fx是定义域内的增函数．三、化二次函数问题例3函数2()fxxbxc，满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xfb与()xfc的大小关系是_____．用心爱心专心分析：先求bc，的值，再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)fxfx，∴函数()fx的对称轴是x=1．由此得2b，又由(0)f=3，得c=3．∴函数2()23fxxx，其在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增．若0x≥，则3x≥2x≥1，∴(3)(2)xxff≥．若0x，则321xx，∴(3)(2)xxff．综上可得(3)(2)xxff≥．点评：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、单调性法、中间量法等．例4函数221xxyaa（0a，且a≠1）在区间［－1，1］上有最大值14，则a的值是_____．分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围．解：令(0)xtat，则函数221xxyaa（0a，且1a）可化为2(1)2yt，则对称轴为1t，∴当1a时，由[11]x，，知1xaaa≤≤，即1taa≤≤．∴当ta时，2max(1)214ya．解得3a或5a（舍去）；当01a时，[11]x，，1xaaa≤≤，即1ata≤≤．∴当1ta时，2max11214ya．解得13a或15a（舍去）．∴a的值是3或13．点评：利用指数函数的单调性求最值时要注意方法的选取，比如：换元法，整体法等．用心爱心专心
