数形结合———高考解题的一把利刃数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，具有直观、明了、易懂等优越性，如能准确把握，威力巨大．这也是高考考查的重点，让我们看看其在函数中的神奇效果．一、研究函数的性质例1（2005年北京卷13题）对于函数()fx定义域中任意的1212()xxxx，，有如下结论：①1212()()()fxxfxfx；②1212()()()fxxfxfx；③1212()()0fxfxxx；④1212()()22xxfxfxf．当()lgfxx时，上述结论中正确结论的序号是___．解析：作出图象如图1，由图可知④不正确；而①显然不成立；②为运算律，成立；③表示12xx与12()()fxfx同号，由增函数的定义知：()lgfxx在其定义域上为增函数成立．所以答案为：②③．点评：本题综合考查函数的概念、图象及性质，选项③侧重考查单调性，选项④考查函数图象，若用代数方法研究，难度较大，通过图象的特征及其变化趋势则容易判断．二、研究函数的最值例2（2006年全国Ⅱ理科12题）函数191()nfxxn的最小值为（）．（Ａ）190（Ｂ）171（Ｃ）90（Ｄ）45解析：绝对值往往是使试题增加难度的“添加剂”．如果试图进行分类讨论，几乎不可能完成，必须另寻妙法!1x的几何意义是什么？是数轴上的点x到点1的距离，那么12xx就是点x到点1与到点2的距离之和，如图2，当[12]x，时，12xx的最小值为1；又当x=2时，123xxx的最小值为2；…，依次类推，当x=10时，所求最小值为02(129)90，故选（Ｃ）．求等差数列前9项的和当然是“小菜一碟”，而此时绝对值的几何意义则成了解题的关键，这个解题过程可用“一点突破，全线贯通”来形容！三、研究方程的解例3（2005年上海春招理16题）设定义域为R的函数lg11()01xxfxx，，，，，则关于x的方程2()()0fxbfxc有7个不同实数解的充要条件是（）．（Ａ）b<0且c>0（Ｂ）b>0且c<0（Ｃ）b<0且c＝0（Ｄ）b≥0且c＝0解析：lg(1)1()01lg(1)1xxfxxxx，，，其图象如图3所示，()fx的图象关于1x对称，且()0fx≥．若方程2()()0fxbfxc①有7个不同实数根，则方程20tbtc②有两个不相等的实根，且一根为正，一根为0，否则，若方程②有两个相等的非负实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不相等的正实根，则方程①有8个解．因为()0fx满足方程①，则0c，又()0fx也满足方程①，所以()0bfx．所以b<0，且c＝0，故选（C）．点评：在中学阶段所涉及的函数：正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数等都要充分联系函数图象，借助图象的直观形象，达到求解的目的．例4设方程4(1)xaxa的解为1x，方程log4(1)axxa的解为2x，求12xx．分析：给出的1a是不定的，所求得的12xx，都不固定．但原方程可分别变形为4xax和log4axx．因为xya与logayx互为反函数，所以函数xya的图象与函数logayx的图象关于直线yx对称，而12xx，可分别看作直线4yx与函数xya的图象及函数logayx的图象交点的横坐标．如图4，直线4yx与直线yx互相垂直，点Ａ与点Ｂ关于直线yx对称，设点Ｐ为线段AB的中点，且点P为直线yx与直线4yx的交点，则问题可转化为求点Ｐ的横坐标．解：如图4，由4yxyx，，，解得22xy，，则1224xxx．评注：隐性条件的挖掘是解题的关键，要善于从条件的结构特征中寻找一些和函数图象关联的信息源，以便为解决问题作好形的铺垫．
